۱) ایا ماتریس کلاهدار یا همان H در رگرسیون معین مثبت است؟

ماتریس کلاه‌دار (H) در رگرسیون خطی معمولاً به عنوان ماتریس پیش‌بین‌کننده (Projection Matrix) شناخته می‌شود و از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

[ H = X(X^T X)^{-1} X^T ]

که در آن:
- ( X ) ماتریس طراحی (Design Matrix) است.
- ( X^T ) ترانهاده ماتریس ( X ) است.
- ( (X^T X)^{-1} ) معکوس ماتریس ( X^T X ) است.

### ویژگی‌های ماتریس کلاه‌دار (H):
1. متقارن بودن: ماتریس ( H ) متقارن است، یعنی ( H = H^T ).
2. توانی بودن: ماتریس ( H ) توانی است، یعنی ( H^2 = H ). این به این معنی است که اگر آن را در خودش ضرب کنید، نتیجه همان ماتریس ( H ) خواهد بود.
3. نیمه معین مثبت: ماتریس ( H ) نیمه معین مثبت است. این بدان معناست که برای هر بردار ( v )، داریم ( v^T H v \geq 0 ).

### آیا ماتریس کلاه‌دار معین مثبت است؟
ماتریس ( H ) نیمه معین مثبت است، اما لزوماً معین مثبت نیست. دلیل این است که ماتریس ( H ) می‌تواند دارای مقادیر ویژه صفر باشد (به ویژه اگر ماتریس ( X ) دارای وابستگی خطی بین ستون‌هایش باشد). برای اینکه یک ماتریس معین مثبت باشد، تمام مقادیر ویژه آن باید مثبت باشند، اما در مورد ماتریس ( H )، برخی از مقادیر ویژه ممکن است صفر باشند.

بنابراین، ماتریس کلاه‌دار ( H ) نیمه معین مثبت است، اما معین مثبت نیست.

۲) چه زمانی مقدار ویژه ماتریس H صفر میشود؟

مقدار ویژه ماتریس کلاه‌دار (H) زمانی صفر می‌شود که ماتریس طراحی (Design Matrix) ( X ) دارای وابستگی خطی بین ستون‌هایش باشد. در این حالت، ماتریس ( X ) دارای ستون‌هایی است که به صورت خطی وابسته هستند، و این باعث می‌شود ماتریس ( H ) خاصیت معین مثبت کامل را از دست بدهد.

### توضیح دقیق‌تر:
ماتریس کلاه‌دار ( H ) به صورت زیر تعریف می‌شود:
[
H = X(X^T X)^{-1} X^T
]
مقادیر ویژه ماتریس ( H ) یا ۱ هستند یا ۰. دلیل این موضوع این است که ( H ) یک ماتریس توانی (Idempotent) است، یعنی ( H^2 = H ). برای چنین ماتریس‌هایی، مقادیر ویژه تنها می‌توانند ۰ یا ۱ باشند.

#### چه زمانی مقدار ویژه ( H ) صفر می‌شود؟
مقدار ویژه ( H ) زمانی صفر می‌شود که رتبه ماتریس ( X ) کمتر از تعداد ستون‌های آن باشد. این اتفاق در موارد زیر رخ می‌دهد:
1. وابستگی خطی در ستون‌های ( X ):
   - اگر ستون‌های ماتریس ( X ) به صورت خطی وابسته باشند (یعنی یک ستون را بتوان به عنوان ترکیب خطی سایر ستون‌ها نوشت)، آنگاه ماتریس ( X^T X ) تک‌مقدار (Singular) می‌شود و معکوس‌پذیر نیست.
   - در این حالت، ماتریس ( H ) دارای مقادیر ویژه صفر خواهد بود.

1. تعداد متغیرهای مستقل بیشتر از تعداد مشاهدات:
      - اگر تعداد ستون‌های ( X ) (متغیرهای مستقل) بیشتر از تعداد سطرهای آن (تعداد مشاهدات) باشد، ماتریس ( X ) دارای رتبه کامل نخواهد بود.
      - این نیز منجر به وجود مقادیر ویژه صفر در ماتریس ( H ) می‌شود.

2. وجود متغیرهای تکراری یا اضافی:
      - اگر در مدل رگرسیون، متغیرهای تکراری یا اضافی وجود داشته باشند (مثلاً یک متغیر دو بار وارد شود)، این باعث وابستگی خطی و در نتیجه صفر شدن برخی مقادیر ویژه ( H ) می‌شود.

### نتیجه‌گیری:
مقدار ویژه ماتریس ( H ) زمانی صفر می‌شود که ماتریس طراحی ( X ) رتبه کامل نداشته باشد. این معمولاً به دلیل وابستگی خطی بین ستون‌های ( X ) یا تعداد زیاد متغیرهای مستقل نسبت به مشاهدات رخ می‌دهد. در این حالت، ماتریس ( H ) نیمه معین مثبت است، اما معین مثبت نیست.

https://t.me/anjoman_amar

کد تخفیف ۴۰ درصدی مخصوص اعضای شما:
Kashanstat40

Multivariate regression analysis

رگرسیون چند متغیر یکی از تحلیل های رگرسیون است. بسیاری از فراد عبارت فوق را با
Multiple regression
اشتباه میگیرند. در رگرسیون چند متغیره متغیر وابسته ما یا همان y به بیش از یک متغیر تبدیل میشود. پس در نتیجه ما به جای بردار ضرایب یا همان beta، ماتریس ضرایب را داریم.
این کار زمانی انجام میشود که متغیرهای وابسته با یکدیگر دچار همبستگی هستند، همینطور متغیر خطاها یا همان
Epsilon
تبدیل به یک توزیع چند متغیره میشود به طور مثال نرمال چند متغیره.

در صفحات زیر این موضوع توضیح داده شده و به بررسی کدهای آن در نرم افزار R پرداخته شده است.

https://cran.r-project.org/web/packages/rrr/vignettes/rrr.html

https://library.virginia.edu/data/articles/getting-started-with-multivariate-multiple-regression

خوشحال میشیم نظراتتون رو برای ما بفرستید✅💥
https://t.me/anjoman_amar

?‍??‍?واحد ارتباط با صنعت??

⭕️فرصت ورود به بازار کار و کسب درآمد⭕️ و کسب مهارت

✅به واسطه همکاری با دانشگاه و پارک های علم و فناوری برای دانشجویان دانشگاه کاشان
و بازدید از شرکت‌ های دانش بنیان و صنایع

⚙از هر توانایی ی دانشجویان عزیز در زمینه های مختلف ، در صنعت ، شرکت ها ، دانشگاه و.... استفاده خواهد شد.⚒?

باتلاش و استمرار ، این فرصت رو برای شما دانشجویان فراهم میکنیم و بر این عهد پایبند خواهیم ماند ان‌شاءالله.

??برای شناسایی توانایی شما عزیزان ، هریک از دانشجویان توانایی خود رو به آیدی بنده ( دبیر انجمن هوافضا) ارسال نمایید ، ان‌شاءالله از این توانمندی های با ارزش شما استفاده خواهد شد.??

?@EAP313?

✔️با ما در ارتباط باش ??
انجمن علمی هوافضا دانشگاه کاشان
■ کانال: @AerospaceUK
■ گروه: @AerospaceKU

سلام روز دانشجو بر شما مبارک❤
امیدوارم هیچوقت ازمون نیکویی برازشتون رد نشه?
امیدوارم مدلاتون همیشه بهترین باشن?
همیشه ازمونای رگرسیونتون رد بشه aic مدلتون از همه کمتر باشه?
امیدوارم داده‌هاتون نرمال و تست‌هاتون پارامتری باشن?
امیدوارم واریانس‌هاتون همیشه ثابت و برابر باشن?
امیدوارم صف‌هاتون همه M/M باشن?
امیدوارم شرایط حدمرکزی براتون هموار باشه?
امیدوارم دیتاتون همیشه گذشته داشته باشه که بتونید بیز کار کنید?
امیدوارم QQplot هاتون همیشه خط مستقیم باشن?
امیدوارم دیتاتون گمشده و سانسور شده نداشته باشه❤
امیدوارم هیچوقت عامل مزاحم نداشته باشید?

و در اخر امیدوارم حال دلتون همیشه خوب و شاد باشه❤??

انجمن آمار دانشگاه کاشان روز دانشجو را به شما تبریک می‌گوید

https://t.me/anjoman_amar✅

پادکست رخ - داستان زندگی نیکولا تسلا
قسمت اول اپیزود مخترع قرن بیستم ، داستان زندگی نیکولا تسلا??‍?
در این پادکست درباره زندگی و تمامی دستاورد های تسلا، مخترع و فیزیکدان بزرگ پرداخته شده است .
به طور قطع افرادی که علاقمند به ریاضی و فیزیک هستند از گوش دادن به این پادکست بسیار لذت خواهند برد ?❤️
#پادکست_هفته
https://t.me/anjoman_amar

NYPD crime statistic weekly

https://t.me/anjoman_amar

شاید براتون پیش اومده باشه که بخواید تو R نمودارهاتون رنگ های خوبی رسم کنید اما تو انتخاب رنگ دچار مشکل میشید
با دستور ()color میتونید رنگ های نرم افزار رو ببینید اما اگر خواستید رنگ های دیگه ای رو بسازید و استفاده کنید چطور؟

اگر دنبال رنگهای خوب میگردی که تو R استفاده کنی پیشنهاد ما به شما اینجاست

https://t.me/anjoman_amar