?#کشف_جادوی_اعداد

✨نسبت طلایی

◀️نسبت طلایی (golden ratio) رابطه‌ی ریاضی منحصربه‌فردی است که به الگوی فیبوناچی مرتبط است. دو عدد زمانی با یکدیگر نسبت طلایی دارند که نسبت مجموع این دو عدد (a+b) تقسیم بر عدد بزرگ‌تر (a) مساوی نسبت عدد بزرگ‌تر تقسیم بر عدد کوچک‌تر (a/b)‌ باشد. 

◀️نسبت طلایی حدوداً برابر با ۱٫۶۱۸ است و با حرف یونانی فی (Φ) نشان داده می‌شود؛ اما رابطه‌ی نسبت طلایی با دنباله‌ی فیبوناچی چیست؟

◀️نسبت اعداد متوالی فیبوناچی (۲/۱، ۳/۲، ۵/۳ و ...) به مقدار نسبت طلایی نزدیک است. در واقع، هرچه اعداد فیبوناچی بزرگ‌تر باشند، یا به عبارت دیگر هرچه در این دنباله به سمت بی‌نهایت حرکت کنیم، نسبت آن‌ها به ۱٫۶۱۸ یا همان عدد فی نزدیک‌تر می‌شود. از آنجایی که نسبت طلایی به‌وفور در طبیعت یافت می‌شود، به آن «نسبت الهی»‌ نیز می‌گویند.

◀️در زمانهاي قديم هنرمندان يوناني به خوبي رياضيی‌دانان مستطيل زيبايی می شناختند كه از نظر هنری عرض 1 و طول X داشت در اين مستطيل هر وقت مربعی به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطيل با همان نسبتهای مستطيل اصلی باقی ميماند .
چون مستطيل جديد طول 1-X و عرض 1 دارد و چون نسبت ضعلهای دو مستطيل با هم برابر است :
x^2-x-1=0
حالا اگر در معادله ي بالا برای X حل كنيم ريشه‌ی مثبت معادله همان عدد طلايی است:
x=(1+5^0.5)/2

◀️شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می‌پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می‌شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.

✈️@IDSchools
✈️@IDSchools_math

?ریاضی‌ دانان الگوهایی را کشف می‌کنند، آن‌ها را به صورت فرمول درمی‌آورند. درست یا نادرست بودن حدس ریاضی‌دانان با اثبات ریاضی نشان داده می‌شود. استفاده از انتزاع و منطق از مفاهیمی مثل اندازه گیری، محاسبه، شمردن و مطالعه‌ی نظام مند شکل و حرکات فیزیکی اشیا علم ریاضیات را به وجود آورده است. از وقتی که انسان نوشتن را آموخته‌است ریاضیات کاربردی همواره به عنوان فعالیت بشری موجود است. حل مساله‌های ریاضی شاید سال‌ها به طول بیانجامد.

❓ریاضی دان کیست؟
ریاضی دان کسی است که با دانش گسترده‌ی خود در زمینه‌ی ریاضی مسائل ریاضی را حل می‌کند. موضوعاتی که ریاضی دانان به آن می‌پردازند معمولا اعداد، کمیت، داده، فضا، ساختار، مدل‌ها و تغییرات هستند. ریاضی دانان بر خلاف پژوهشگران و محققان رشته‌‌های دیگر بدون هیچ ابزار فیزیکی و فقط با فکر خود به تحقیق و استدلال می‌پردازند. دانش ریاضی بسیار گسترده است به طوری که هیچ کس نمی‌تواند ادعای تخصص در تمام علم ریاضی را داشته باشد.

*?*کارل فریدریش گاوس ریاضی دان، ستاره شناس و فیزیک دان آلمانی بود. لقب این ریاضی دان بزرگ آلمانی ( شاهزاده ی ریاضی دانان ) است. به دلیل تحقیقات و دستاوردهای بسیار او در علم ریاضی این لقب را به او داده‌اند.
?گاوس در خانواده‌ای فقیر در خانه‌ای کوچک در شهر برونسویک آلمان در ۳۰ آوریل سال ۱۷۷۷ به دنیا آمد. گاوس در دوران کودکی علاقه‌ی بسیاری به تحصیل داشت. پدرش سعی می‌کرد از علاقه ی به تحصیل گاوس جلوگیری کند اما گاوس همیشه احترام پدر و مادر خود را داشت. مادر گاوس امید بسیاری به موفقیت فرزندش داشت و همیشه او را مورد توجه خود قرار می‌داد. اولین نبوغ گاوس قبل از سه سالگی هنگامی که پدرش حقوق خود را محاسبه می‌کرد و اشتباهی در محاسبه‌اش انجام داد کشف شد. گاوس اشتباه پدرش را به او گوشزد کرد و این باعث حیرت شد.

?او در ۱۰ سالگی در کلاس حساب زمانی که هیچکدام از بچه ها چیزی از تصاعد نمی‌دانستند و مساله را با راه حلی طولانی انجام می‌دادند با نوشتن يک عدد و پاسخ صحیح همگان را متحیر کرد. گاوس در ۱۶ سالگی به هندسه‌های غیر از هندسه‌های ارشمیدسی فکر می‌کرد تا اینکه در ۱۸سالگی مشخصه‌‌ی چند ضلعی‌های ترمیم پذیر را تعیین کرد.

?او در ۲۴ سالگی بهترین اثر خود را یعنی Disquistiones Arithmeticae به چاپ رساند. بعد از سال ۱۸۰۱ به عرصه‌های دیگری از ریاضی مشغول شد. گاوس به وجود هندسه‌هایی غیر از هندسه‌ی ارشمیدسی پی برده بود اما به دلیل بیزاری از شهرت آن را منتشر نمی‌کرد. ۵۰ سال بعد از مرگ این ریاضی دان بزرگ دفتر یادداشت معروف او منتشر شد. او در آن دفتر اثبات مسائل ریاضی را می‌نوشت. گاوس ۱۲ جلد کتاب از خود بر جای گذاشت و در سن ۷۸ سالگی در ۲۳ فوریه ی سال ۱۸۵۵ از دنیا رفت. او در شهر گویتنگن آلمان به خاک سپرده شد.

✈️@IDSchools
✈️@IDSchools_math

?#گام_به_گام

✅دنیایی که در آن زندگی می‌کنیم مملو از داده‌هایی است که از همه جا به سمت ما سرازیر می‌شوند. داده به تنهایی فقط سر و صدا و سردرگمی است. برای معنا دادن به داده و یافتن معنا در آن، نیاز به شاخه‌ی قدرتمندتری از علم به نام آمار داریم.

✅باور کنید آمار اصلا کسل کننده نیست. به خصوص که امروزه می‌توانیم داده را به موسیقی تبدیل کنیم. با آمار می‌توانیم به جهان معنا ببخشیم.

✅با آمار آنچه که امروزه سیل داده نامیده می‌شود، ما را به سمت درک بهتری از زندگی در زمین و جهان فراتر از زمین سوق می‌دهد.

✅به لطف قدرت خارق العاده کامپیوترهای امروزی، آمار می‌تواند فرایند کشف علمی را به شکلی اساسی تغییر بدهد.

✅آمار به ما می‌گوید که چیزهایی که فکر می‌کنیم و باور داریم، آیا واقعا درست هستند یا خیر. آمار خیلی کاربردی‌تر از چیزی است که اغلب حاضر هستیم به آن اعتراف کنیم.

✅در حقیقت کلمه آمار از واژه state به معنای دولت می‌آید. شروع آمار مدرن حدود دو قرن پیش بود. آمار پس از شروع خود، به سرعت گسترش پیدا کرد.
اولین جمع‌آوری سیستماتیک آماری در جهان توسط دانشمندی سوئدی انجام شد.

✅اما اعداد به تنهایی چیزی به شما نشان نمی‌دهند؛ باید آن‌ها را تحلیل کرد و دقیقا همین است که آمار را می‌سازد. زمانی که اولین آمارگران شروع به درک کار تحلیل داده‌ها کردند، متوسل به میانگین شدند و میانگینِ همه‌چیز را محاسبه کردند. نکته جالب درباره‌ی میانگین این است که می‌توانید مجموعه‌ای در هم ریخته از داده‌ها را به یک عدد واحد کاهش دهید. با اینکه هر یک از ما منحصر به فرد هستیم، حاصل زندگی جمعی ما میانگین‌هایی است که می‌تواند مشخص‌کننده ویژگی‌های کل جمعیت باشد.

?ادامه دارد....
#آمار
#میانگین
✈️@IDSchools
✈️@IDSchools_math

?#کشف_جادوی_اعداد

?ریاضیات علمی است پر از شگفتی: ویژگی های جالب اعداد

?۶.اعداد خون آشام

✅ یک عدد خون آشام است، اگر بتوانید ارقام آن را بردارید، آنها را مجدداً در 2 عدد جدید مرتب کنید و آنها را ضرب کنید تا عدد اصلی برگردد.

✅به عنوان مثال 1260 که می توان آن را به 60 و 21 تقسیم کرد، 1260 = 60×21. ۶۰ و ۲۱ را دندان های نیش آن می نامند ??. مثال دیگر 1395 = 93x15 است

✅یک عدد خون آشام بسیار جالب 125460 است که دارای 2 جفت نیش است.
125460 = 204x615 = 246x510

?زیر مجموعه های خاصی در اعداد خون آشام وجود دارد:

✅اعداد شبه خون آشام: دندان‌های نیش اندازه‌های مختلفی دارند. 1206 = 6x201

✅اعداد خون آشام نخست: شماره خون آشامی که دندان های نیش آن فاکتورهای اصلی آن هستند. 117067 = 167x701

✅جفت خون آشام: اعداد خون آشام که دندان های نیش آن نیز اعداد خون آشام هستند. 1,047,527,295,416,280
= 25,198,740 × 41,570,622

که نیش های آن همچنین اعداد خون آشام هستند:
25,198,740 = 2940 × 8571
41,570,622 = 5601 × 7422

✅@IDSchools
✅@IDSchools_math

?#کشف_جادوی_اعداد

?ریاضیات علمی است پر از شگفتی: ویژگی های جالب اعداد

?۵.سری فیبوناچی

⬅️سری فیبوناچی یک سری از اعداد بسیار شناخته شده است، سری فیبوناچی مجموعه ای متشکل از اعدادی است که عدد بعدی در دنباله با مجموع 2 عدد بعدی داده می شود. این سری 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55 …

⬅️2 با جمع 1 و 1 به دست می آید، 3 با جمع 1 و 2 به دست می آید، 5 با جمع 2 و 3 و غیره به دست می آید.

⬅️یک واقعیت جالب در مورد سری فیبوناچی این است که وقتی اعداد آن را مرتب می کنید، یک مارپیچ خوب به دست می آید.

⬅️دنباله فیبوناچی نقش حیاتی در فیلوتاکسی ایفا می کند که آرایش برگ ها، شاخه ها، گل ها یا دانه ها را در گیاهان مطالعه می کند. دارسی تامپسون مشاهده کرد که پادشاهی گیاهی ترجیح عجیبی برای اعداد خاص و هندسه های مارپیچی خاص دارد و این اعداد و هندسه ها ارتباط نزدیکی با هم دارند.

⬅️در مارپیچ گل ها در ترکیب گل های مروارید، آفتابگردان و غیره، اعداد دنباله فیبوناچی می توان دریافت.

⬅️نمونه دیگری از یافتن سری فیبوناچی در طبیعت با مشاهده تعداد گلبرگ های گل است. گلهایی مانند زنبق، زنبق دارای 3 گلبرگ، پارناسیا دارای 5 گلبرگ و کازمیا دارای 8 گلبرگ، برخی از گلهای مروارید دارای 13 گلبرگ و کاسنی دارای 21 گلبرگ هستند (که همه آنها بخشی از سری فیبوناچی هستند).

?@IDSchools
?@IDSchools_math

?#کشف_جادوی_اعداد

✨ریاضیات علمی است پر از شگفتی: ویژگی های جالب اعداد

?۴. اعداد فریدمن

✅علاوه بر اعداد آرمسترانگ، جالب ترین و سرگرم کننده ترین، اعداد فریدمن هستند. نام آنها از اریش فریدمن، استاد ریاضیات بازنشسته در دانشگاه استتسون فلوریدا گرفته شده است.

✅اعداد فریدمن اعدادی هستند که می توان آنها را با استفاده از ارقام آنها با عملیات پایه حساب به روشی غیر پیش پا افتاده نوشت. چند مثال ساده:
121=11^2
125=5^(2+1)
128=2^(8-1)
153=51×3
347=7^(3+4)
625=5^(6-2)
688=86×8
1022=2^(10-2)

✅شماره های فریدمن خاصی وجود دارند که اعداد فریدمن "خوب" هستند. اینها اعدادی هستند که ارقام در عبارت را می توان به همان ترتیبی که در خود عدد وجود دارد مرتب کرد.

127=-1+2^7
343=(3+4)^3
736=7+3^6
1285=(1+2^8)×5
2502=2+50^2

✅216، 1024، 1255، 1260 نمونه های دیگری از اعداد فریدمن هستند.
✅2187، 2592، 4096 نمونه های دیگری از اعداد فریدمن خوب هستند.

?یکی از فعالیت‌های جالبی که می‌توانید انجام دهید این است که خودتان ببینید آیا اعداد بالا واقعاً اعداد فریدمن هستند یا نه، با تلاش برای نوشتن آنها در قالبی که در بالا مشخص شده است.

✈️@IDSchools
✈️@IDSchools_math

?#کشف_جادوی_اعداد

?ریاضیات علمی است پر از شگفتی: ویژگی های جالب اعداد

?۳. اعداد آرمسترانگ

?اعداد خودشیفتگی که با نام اعداد آرمسترانگ (به نام مایکل اف. آرمسترانگ) نیز شناخته می شوند، اعدادی هستند که برابر مجموع ارقام آنها به توان تعداد ارقام است.

?یک مثال از عدد آرمسترانگ 153 است که می تواند به صورت 1³+5³+3³ نوشته شود. سایر نمونه های 3 رقمی 370، 371، 407 هستند.

370 = 3³+7³+0=27+343+0 = 370
371 = 3³+7³+1³=27+343+1 = 371
407 = 4³+0+7³=64+343=407

?اعداد 4 رقمی آرمسترانگ 1634، 8208، 9474 هستند.

1634 = 1⁴+6⁴+3⁴+4⁴ = 1+1296+81+256
8208 = 8⁴+2⁴+0+8⁴ = 4096+16+4096
9474 = 9⁴+4⁴+7⁴+4⁴ = 6561+256+2401+256

?مدل های جالبی در اعداد آرمسترانگ وجود دارد که با نام‌های اعداد دادنی و اعداد مونچاوزن شناخته می‌شوند.

1️⃣اعداد دادنی:
ارقام عدد را قبل از اینکه آنها را به توان 3 افزایش دهید، اضافه کنید. به عنوان مثال: 5832 = 18³ = (5+8+3+2)³, 512, 4913

2️⃣اعداد مونچاوزن:
هر رقم را به توان خودش برسانید و با هم جمع کنید. به عنوان مثال: 3435 = 3³+4⁴+3³+5⁵

?خیلی جالبه درسته?

✈️@IDSchools
✈️@IDSchools_math

? #کشف_جادوی_اعداد

? ریاضیات علمی است پر از شگفتی: ویژگی‌های جالب اعداد

◀️ ۲. اعداد کامل

✅اعداد کامل اعدادی هستند که با مجموع مقسوم علیه خود (به استثنای خودشان) برابر باشند.
✅کوچکترین عدد کامل شناخته شده 6 است. مقسوم علیه‌های شش 1، 2، 3 هستند که مجموع آنها 6 است. بنابراین، 6 یک عدد کامل است.

✅عدد کامل بعدی 28 است (28 = 1+2+4+7+14)

✅اگرچه تعریف اعداد کامل بسیار ساده به نظر می رسد، اما در واقعیت، یافتن آنها بسیار دشوار است (با توجه به اینکه آنها "کامل" هستند).

✅سومین و چهارمین عدد کامل 496 و 8128 هستند. در حالی که پنجمین عدد کامل 33,550,336 است. (اگر اوقات فراغتی در دست دارید، می‌توانید عوامل مربوط به آن را پیدا کنید)

‼️با این حال عجیب است که هر عدد کاملی که تاکنون کشف شده است یک عدد زوج بوده است.

?کاربرد اعداد کامل:

?اعداد کامل در زمینه نظریه اعداد که مطالعه خصوصیات و روابط اعداد است نقش مهمی دارند.

? اعداد کامل همچنین با چندین حدس ریاضی حل نشده همراه شده اند و بر جذابیت آنها افزوده است.

? اعداد کامل در زمینه رمزنگاری، کاربردهایی پیدا کرده اند که شامل ایمن سازی سیستم‌های ارتباطی و اطلاعاتی است.

? اعداد کامل در کشف و تولید اعداد اول نقش داشته اند.

? @IDSchools
? @IDSchools_math

?#کشف_جادوی_اعداد

?در این پست ما به بررسی اعدادی در ریاضیات خواهیم پرداخت که دارای ویژگی‌های جالبی هستند و همچنین نام‌های سرگرم کننده و تخیلی دارند. اگرچه ممکن است در زندگی واقعی کاربرد زیادی نداشته باشند، اما دانستن در مورد آنها هنوز هم سرگرم کننده است.

‼️۱. شماره ناماروجان

◀️ عدد 1729 که به عنوان عدد رامانوجان شناخته می شود، یک عدد کاملاً معروف است و یک داستان جالب پشت آن وجود دارد.

◀️ رامانوجان در مدت اقامتش در لندن بیمار شده بود و در بیمارستان بستری بود. در آن زمان، همکار ریاضیدان G.H. هاردی که می‌خواست او را ملاقات کند، تاکسی با شماره «1729» سوار شد و او را ملاقات کرد. هاردی به محض رسیدن به بیمارستان به رامانوجان گفته بود که 1729 یک عدد نسبتاً کسل کننده به نظر می رسد و امیدوار بود که این یک فال بد نباشد. رامانوجان گفت: «نه، هاردی، این عدد بسیار جالبی است. این کوچکترین عددی است که به صورت مجموع دو مکعب مختلف به دو روش متفاوت قابل بیان است.»

◀️ عدد 1729 را می توان به صورت 9³ + 10³ و همچنین به صورت 12³ + 1³ نوشت:

1729 = 9³+10³ = 1³+12³

◀️اعدادی از این فرم را که می توان به صورت مجموع 2 مکعب مختلف به 2 روش مختلف بیان کرد، اعداد تاکسی نامیده می شوند. چند نمونه دیگر از شماره تاکسی ها عبارتند از:

4104 = 16³+2³ = 15³+9³
13832 = 24³+2³ = 20³+18³

◀️ بزرگترین شماره تاکسی شناخته شده 885623890831 است که می‌تواند به صورت زیر بیان شود:

885623890831 = 7511³+7730³ = 8759³+5978³

?اگه به ناماروجان و اطلاعاتی که بیان کرد علاقه مند شده‌اید می‌توانید فیلم "مردی که بی نهایت را میدانست" را تماشا کنید.

✈️@IDSchools_math
✈️ @IDSchools