رسم الدوال Graph of functions
هو يجي نصا او نفس الفكره و الخطوات بالضبط أقوى شي ممكن يجيبه هو أنه يتلاعب بشكل الداله و انت لازم ترتبها و تبدي تحل فـ ماعندي ملاحظات قويه عنه:
-اول شي لازم نشوف أوسع مجال.
-بعدين نطلع نقاط التقاطع إن أمكن interception.
-التناظر إن وجد symmetric
لو ويه y-axis.
لو ويه origin point.
-المحاذيات إن وجدت asympototes
ننتبه انه الداله كثيره حدود ماعندها محاذيات، بس الكسريه عدها.
-النقاط الحرجه و مناطق التزايد و التناقص إن وجدت (خط الاختبار مهم مهم مهم عليه درجات)
لتنسى تكتب مناطق التزايد و التناقص و نوع النقطه الحرجه الي اني دائما اغلس عليهم و انساهم و اتنقص.
-نقاط الانقلاب و مناطق التقعر و التحدب إن وجدت
هم لتنسى تكتب مناطق التقعر و التحدب ضروري.
- الرسم.
طبعا اكو ملاحظه كلش مهمة الي هي انه من نريد نختبر قيمه x نشوفها هي نقطه local mini او local max او critical point
نختبر بالمشتقه الأولى و نطلع قيمه y من الداله الاصليه.
نفس الحجي بالنسبه لنقطه الانقلاب
بس نختبر بالمشتقه الثانيه و نطلع قيمه y من الداله الاصليه.

الثوابت Constants
- كل نقطه تعوض بالداله الاصليه.
-النقطه الحرجه بكل انواعها نستفيد منها مرتين... مره نعوضها بالداله بالاصليه و مره نشتق المعادله و نعوض y'=0 عند الـx= قيمه.
-نقطه الانقلاب نستفيد منها مرتين مره نعوضها بالداله الاصليه و مره نعوض بالمشتقه الثاني y''=0 عند الـx= قيمه.
- اذا ذكر كلمه يمس tangents اذن ديقصد 'y.
من يذكر كلمه يمس اذن لازم عدنا نقطه تماس (x, y) لو هو ينطيها بالسؤال لو اني اطلعها.
- كل y تحتاج x
غصبا ما علينا كل ما عدنه y لازم نطلع x
اذا كانت y تمثل نقطه حرجه اذن نطلع x من المشتقه الاولى.
اذا كانت y تمثل نقطه انقلاب اذن نطلع x من المشتقه الثانيه.
- اي نقطه تنتمي للـy-axis اذن x=0.
اي نقطه تنتمي للـx-axis اذن y=0.
- من يگول شنو نوع النقطه الحرجه فأني اعرفها من خط الاختبار نفسه الي برسم الدوال و لازمممم ينكتب عليه درجات.
-اكو ملاحظه حلوه هم اذا گال مثلا هذا السؤال
If 6 represents a local minimum end....
هنا معناها
y=6
y'=0
x= قيمه معينه لازم نطلعها اكيد اذا ما ناطيها بالسؤال.

اكو نوع من الاسئله يطلب اختبار المشتقه الثانيه يعني يگول:
By using the second derivative test find the local extreme of the function....
يعني بأختصار يريد يعرف نوع النقطه الحرجه من خلال المشتقه الثانيه.
اول شي نشتق المعادله الاصليه
نجد قيمه x.
نشتق مشتقه ثانيه نعوض بيها قيمه x الي طلعناها من المشتقه الأولى.
و نشوف الاشاره مال الناتج الي حيطلع
اذا موجب يعني نوع النقطه local mini.
و اذا سالب يعني .local max.
طبعا تبين بالرسم الي يحب يفهمها ع الرسم مثلي:
اذا طلع الناتج موجب اذن concave up شكله يشبه u اذن النقطه تكون صغرى ليجوه بقعر الرسم
اذا طلع الناتج سالب اذن concave down شكله يشبه n اذن النقطه تكون كبرى بقمة الرسم.

اما اذا طلع صفر يعني فشل الحل و نرجع لطريقه المشتقه الأولى مال خط الاختبار....و اكيد لازم تكتبله هاي الطريقه فشلت سو نرجع لطريقتنا القديمه مال خط الاختبار
This method failed so we use the method of first Derivative.

-اذا گال اثبت انه الداله ماعندها نهايه محليه صغرى or whatever
هنا رح نروح للمشتقه الأولى حتى نكشف النهايات و اكيد نطلع قيمه x و نختبرها و لازم ماتطلع نهايه صغرى و بس..... و تگدر تستخدم طريقه لمشتقه الثانيه الي حجيناها
و الـQED متنساها

و اذا نطاني داله بيها مجهول و مباشره گال اثبت انه هاي الداله ماعندها نقطه كبرى محليه (او صغرى)
هنا ماگدر استخدم طريقه المشتقه الأولى لان عندي مجهول ماگدر اختبر
فـ أروح لطريقه المشتقه الثانيه الي حجينا عنها و كذلك الـQED بالنهايه.

Rolle's & Mean value theorem
رول و القيمه المتوسطه
-الفتره المفتوحه ( )
الفتره المغلقه [ ]
شنو الفرق بينهم؟
بالفتره المفتوحه الأطراف لا تنتمي مثلا
2 لا تنتمي للفتره (2،2-)
2- لا تنتمي للفتره (2،2-)
بالفتره المغلقه الأطراف تنتمي مثلا
2 تنتمي للفتره [2،2-]
2- تنتمي للفتره [2،2-]
-الفتره هي (a, b) [a, b] الـb دائما أكبر من الـa سواء فتره مغلقه او مفتوحه.
-بكل الشروط نستخدم الفتره المفتوحه عدا شرط الاستمراريه نستخدم الفتره المغلقه
-اذا تحققت الشروط نروح نطلع c اذا طلبها هو بالسؤال مو بكيفنا نطلعها.
-الـ c ممكن تطلعلها اكثر من قيمه عادي، لازم اكو قيمه او اكثر تنتمي للفتره المفتوحه
-اذا كل قيم c لا تنتمي للفتره المفتوحه اذن حلنا غلط.
-اذا كانت الداله كثيره حدود فهي مستمره و قابله للاشتقاق.
-اذا كانت الداله جذر تكعيبي أيضا هي مستمره و قابله للاشتقاق.
-اذا كانت داله جذر تربيعي بهاي الحاله نستخدم الـlimit و نعوض أرقام الفتره اذا ما طلع تحت الجذر عدد سالب اذن نكمل لان هي مستمره.
-اذا كانت داله كسريه نأخذ المقام نساويه للصفر و تطلع قيمه x اذا قيمه x تنتمي للفتره المغلقه (بالشرط مال الاستمراريه) اذن غير مستمره و يتوقف الحل و نكتبله لا تحقق رول او القيمه المتوسطه.
-اذا قيمه x لا تنتمي اذن مستمره و ننتقل الشرط الثاني الي هو قابليه الاشتقاق.
هم نفس الخطوات تنعاد نأخذ المقام و نساويه للصفر و القيمه الي طلعت نشوفها تنتمي لو لا....اذا تنتمي يوكف الحل لان غير قابله للاشتقاق و اذا لا تنتمي اذن نكمل لأنها قابله للاشتقاق.
- في حال اجتنا cos & sin نكتب الشرط الأول انها مستمره لان الـdomain أوسع مجال الها هو R
و نشتقها و هي قابله للاشتقاق هم لان أوسع مجال هو R.
-من يگول اثبت ان الداله تحقق شروط رول او القيمه المتوسطه اذن نكتبله الشروط و لازم تحقق...وراها نشوفه يريد c لو لا.
-ننتبه اكو مرات اسئله هو محقق الشروط و مرات ينطي قيمه c و يريد قيمه مجهول هنا ما رح أحقق الشروط لان هي اصلا متحققه.
-قيمه b أكبر من قيمه a بالفتره لازمممم
لان مرات ينطي قيمه a و يطلب قيمه الـ b مثلا و تطلع b عدها قيمتين لازم انتبه منو الي اكبر من a اختارها و القيمه الثانيه (الي هي أصغر من الa او تساويها) اكتب عليها neglect تهمل.

التقريب Approximation

كل استاذ اله طريقته بالتقريب فـ بدون تشويش و خربطه للمعلومات... رح اكتب ملاحظات عامه
-اذا اجت الاعداد مثلا
1/2 , 1/4 , 1/5 , 1/10 , 1/20 , 1/20 , 3/4 و الخ من الاعداد
هاي اول ما نشوفها نقسمها يعني بوينتات و نبلش حل.
- اذا جان اكو اكثر من حد نشوف a و b اذا يتشابهون خير ع خير
اذا يختلفون فـ رح ينشطر السؤال يعني نحل كلمن وحد و بالاخير نجمعهم او نطرحهم حسب شنو عدنا بالسؤال.
-بالعدد العشري اذا جان العدد الصحيح صفر مثل 0.2 لازم نخلي عدد المراتب بعد الفارزه يقبل القسمه على دليل الجذر مثل
الجذر التربيعي للـ0.2 ميصير هيج لازم نضيف صفر بعد الفارزه حتى يصير وره الفارزه عددين (تقبل القسمه على دليل الجذر الي هو تربيعي يعني الجذر الثاني)
فـ يصير الجذر التربيعي للـ0.20 و نكمل حل
مثال ثاني الجذر التكعيبي للـ 0.2 هنا هم ميصير فـ نضيف صفاره وره الفارزه حتى يصير عدد يقبل القسمه ع دليل الجذر
يصير الجذر التكعيبي للـ 0.200 و نكمل حل.
-بمسائل التقريب يبدي السؤال من لمن نحصل على
المطلوب = رقم واحد
او المطلوب = متغير واحد فقطط
طبعا هنا الرقم اگدر اعوض عنه بمتغير عادي حسب طريقه حل الشخص نفسه.
-الرسم و الفرضيه عليهم درجات?
-ملاحظه مهمه كلش كلش غلطت مره بيها و اخذت ٧٠ من الاستعجال
اذا ذكر كلمه
Approximate change, thickness of paint or ice etc
يعني يريد hf'(a)
-بسؤال مال طلاء او جليد (وزاري)
اول شي رح ينطي قيمتين القيمه المضبوطه هي a القيمه غير المضبوطه b
-ننتبه على الشكل الي منطيه بالسؤال
اذا مكعب و اذا كرة
اذا مكعب اذن رح يكون الجليد من جهتين ننتبه لان رح تستخدم طول الضلع كامل
الكرة رح يكون الجليد من جهه وحده لان رح تستخدم نصف قطر
-قوانين الكرة تنسي راجعهم دائمااا.

مهم

https://t.me/+SInN_hEyL6MwM2Ni