لأسباب يعجز أحدٌ عن فهمها، فإنّ الله قد صاغ الكون بشكلٍ رياضيّ للغاية ! ربما خلقه الله هكذا، أو ربما هي الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يتشكل بها كونٌ يحتوي على كائناتٍ مثلنا، لأنّ الأكوان غير المنظمة رياضيًّا لا يمكنها أنّ تحتوي على حياةٍ ذكية بما يكفي لطرحِ سؤالٍ كهذا. في النهاية، تبقى الحقيقة الغامضة أنّ كوننا يتبع قوانين الطبيعة التي يمكن دائمًا التعبير عنها بلغة التفاضل والتكامل، من خلال معادلاتٍ تفاضلية تحمل في طيّاتها أسرار الكون .

Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe .
Book by Steven Strogatz .

2-يُستخدم التكامل الثنائي لحساب حجم الورم إذا كان شكل الورم معروفًا رياضيًا أو يمكن تمثيله بواسطة دالة.

إذا كانت الدالة f(x,y) تُمثل ارتفاع الورم عند النقطة (x,y)، فإن حجم الورم يُحسب باستخدام :

V= ∫  ∫ f(x,y) dA

إذا كانت الصور الطبية (مثل التصوير بالرنين المغناطيسي أو الأشعة المقطعية) توفر بيانات عن مقاطع الورم العرضية، يمكن استخدام التكامل الثنائي لتجميع هذه البيانات وحساب الحجم الكلي .

و يجب الإشارة إلى ملاحظة مهمة للغاية ، إذا كان الورم أو الجزء المراد حساب حجمه يقع في مسطح ثنائي الأبعاد (مثل ورم يلتصق بسطح أو ورم يمكن تمثيله بشكل مسطح)، فإن التكامل الثنائي يمكن أن يكون مناسبًا .

لكن إذا كان الورم يمتد في ثلاثة أبعاد (أي يمتلك عمقًا أو يشغل جزءًا من الفضاء ثلاثي الأبعاد)، فالتكامل الثنائي لوحده لن يكون كافيًا لحساب الحجم، لأننا نحتاج إلى التكامل في ثلاثة أبعاد. في هذه الحالة، سيكون التكامل الثلاثي هو الأنسب و كالآتي:

V= ∫ ∫ ∫ f(x,y،z) dx dy dz

حيث f(x,y،z) تمثل الكثافة أو شكل الورم في الفضاء ثلاثي الابعاد.

و V يُمثل حجم الورم .

التكامل الثنائي يُستخدم في العديد من المجالات، بما في ذلك الطب والبيولوجيا، لتحليل ودراسة الأورام بشكل رياضي. العلاقة بين التكامل الثنائي والأورام تكمن في قدرة التكامل على وصف الأشكال الهندسية وحساب الكميات الفيزيائية المرتبطة بالأورام .

1- إذا كان الورم له كثافة غير منتظمة تتغير باختلاف النقاط، وتُمثل الكثافة بالدالة ρ(x,y) ، فإن كتلة الورم M تُحسب باستخدام التكامل الثنائي :

M= ∫  ∫ ρ(x,y) dA

هذا مهم لتحليل طبيعة الورم (مثلاً، إذا كان الورم يحتوي على مناطق كثيفة أو لينة).

تمثل مجموعة ℝ² المستوي الإقليدي ثنائي الأبعاد في الرياضيات ، حيث تتكون من مجموعة الأزواج المرتبة(x,y)  و كالآتي :

{ (x,y): x ∈ ℝ , y ∈ ℝ }
--------------------------------------

فلتكن A={1,2,3}

فإن ? (A) تمثل جميع المجموعات الفرعية  التي من الممكن الحصول عليها من المجموعة A , و كالآتي:

? (A) =  {Φ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3} ، {1,2,3}}

لذلك فإن (ℝ² ) ? تمثل جميع المجموعات التي من الممكن الحصول عليها من مجموعة أزواج الأعداد الحقيقية ( جميع النقاط على المستوي الاحداثي ثنائي الأبعاد ) .

المُدهش  في الأمر ،  كيف يمكن لهذا التجريد الرياضي البسيط أن يتضمن في جوهره  مجموعة تشمل كل الترتيب للنقاط ، و الدوال و الاشكال الهندسية !!

هذه المجموعة  ? ( ℝ² ) لا تحتوي فقط على الكون الرياضي و حسب  ،  بل حتى كل صورة التقطتها في ذات يوم ، و  قصة  كل كائن عاش أو سيعيش على هذا الكوكب ، وكل حياتنا و مستقبلنا .

كل هذا يؤكد  على أناقة الرياضيات ؛ كيف يمكنها أن تختزل تعقيدًا لا نهائيًا في تعبيرات أنيقة ومبسطة، كاشفةً عن عالم من الاحتمالات داخل حدود المنطق والتجريد.

all at once against the darkness of space that enfolds us all ?.

عند عودته من رحلة ابولو 15 ، أجرى رائد الفضاء ألفريد وردن أول عملية سير في الفضاء السحيق حيث قام بالتقاط صور لنا جميعًا في عام 1971 .

لقد أثر هذا السير في الفضاء والمناظر التي شهدها عليه بشدة ! مما دفعه إلى كتابة قصيدة في عام 1974 تحتضن جمال ما رآه ، حيث مثلت أول قصيدة يتم نشرها من قِبل رائد فضاء .

كتب وردن في قصيدته التي كانت بعنوان
"Hello Earth :Greetings from Endeavor":

Of all the stars, moons, and planets ?,
Of all I can see or imagine,
This is the most beautiful;

All the colors of the universe
Focused on one small globe;
And it is our home, our refuge

Now I know why I'm here;
Not for a closer look at the moon,
But to look back
At our home
The earth.

يخبرنا هذا التعبير الرياضي لهابل أنه إذا كان  H (ثابت هابل )  أكبر ، فسيكون عمر الكون (  أو زمن هابل )   أصغر والعكس صحيح .

وحقيقةً فإن قيمة ثابت هابل غير ثابتة على الإطلاق ؛ كان على علماء الفلك أنّ يطلقوا عليه تسمية  Hubble parameter  أو "معامل هابل" بدلاً من "ثابت هابل"  لأنه يتغير بمرور الوقت.

لكن على الأغلب فإنّ السبب في ذلك إن  المسافات الوحيدة التي يمكننا قياسها كانت  قريبة بدرجة كافية بحيث تبدو  قيمة H ثابتة، ولم نقم بتحديث ذلك مطلقًا.

إذا عشنا  بما فيه الكفاية في المستقبل، فسنرى أن  قيمة H سوف تتوقف عن التغير تمامًا  في حال تمكنت الطاقة المظلمة من الهيمنة في ذلكَ الحين .

https://t.me/Alialdurrr