Градиентный спуск стоит в центре всего машинного обучения, но кроме взятия производной порядка 1,2,3,... можно взять производную любой не целой степени. Есть множество способов как это сделать, и каждый для целых порядков дает одинаковый результат, но для дробных может отличаться (я считал через преобразование Фурье). Как при этом меняется градиентный спуск?

В 1906 Нобелевскую премию по физике получил Дж. Томсон за эксперименты, доказавшие, что электроны являются частицами. В 1937 Нобелевскую премию получил его сын за доказательство того, что электроны являются волнами. Возможность быть то волной, то частицей объясняется принципом неопределённости Гейзенберга: ΔxΔp≥ħ/2. Это фундаментальный кирпичик квантовой физики, но математический смысл неравенства просто в том, что любые две величины, связанные преобразованием Фурье не могут быть одновременно измерены с бесконечной точностью. Некоторые исследователи полагают что аналог принципа неопределённости существует и в ML. Тут считают что это, проявляется в балансе обобщения и интерпретируемости: чем лучше модель обобщает зависимости в данных, тем менее она интерпретируема. Но в статье 2022 года интересно показывается соответствие между терминами ML и квантовой физики на примере атаки на сети. Так нормированный по X лосс обученной модели становится волновой функцией (в квантовой физике волновая функция описывает все что происходит с системой), сам X - становится координатой, а градиент лосса по X - импульсом (по аналогии с квантовым оператором импульса). В атаке на сети мы просто обновляем X вдоль градиента лосса по X, но оказывается что между дисперсиями этих величин (X и dLoss(f(X),Y)/dX) возникает ограничение идентичное принципу неопределённости. Допускаю что если вместо X взять веса модели и градиент по ним, то принцип неопределённости также выполнится. Интересно, найдет ли кто-нибудь аналог кота Шредингера, запутанных частиц или квантового туннелирования в ML.

Паритет точности это слабое условие на калибровку модели по группам. В случае предсказания совершения повторного преступления, разница ложноположительных ошибок между A и B (FPR_A - FPR_B) определяет разницу в наказании для тех, кто не совершил рецидив, а (FNR_A - FNR_B)!=0 указывает на разницу в наказании для рецидивистов. Далее показывается, что если наблюдаемая p - вероятность повторного преступления в группах A и B различна (например в группе А рецидивы случаются в 50% случаев, а в группе B, только в 30%), то никакой классификатор не может удовлетворить одновременно трем названным условиям справедливости. Доказательство сводится к формуле связывающей Precision, FPR и FNR:
FRP = p/(1-p) * (1-Precision) / Precision * (1 - FNR)

Для системы из двух таких уравнений и p_A != p_B есть три варианта решения:
1. FRP_A != FRP_B, FNR_A = FNR_B, Precision_A = Precision_B,
2. FRP_A = FRP_B, FNR_A != FNR_B, Precision_A = Precision_B,
3. FRP_A = FRP_B, FNR_A = FNR_B, Precision_A != Precision_B.
В случае равноценного выбора, Александра предлагает жертвовать точностью ради сохранения баланса FRP и FNR (3 вариант).

Еще один пост о невозможности, на этот раз невозможности справедливости в ML. Справедливость - этическая, не статистическая концепция, но если используем ML для оценки рисков (вероятность рецидива преступника, оценка кандидата при приеме на работу, кредитоспособность и т.д.), важно убедиться, что модель не предвзята к какой-либо группе людей. Александра Чулдехова из Карнеги давно исследует справедливость в машинном обучении (ее цитирует Джон Клейнберг, о котором писал выше). В своей работе Александра указывает на требования к справедливой модели, в отношении групп A и B (пол/раса/география проживания и тд):
1. Паритет точности. Метрика Precision должна совпадать для обеих групп при равном пороге отсечки.
P(Y = 1 | score > threshold, A) = P(Y = 1 | score > threshold, B )
2. Баланс FPR - ложноположительных ошибок (FPR == 1 минус recall отрицательного класса).
P(score > threshold | Y = 0, A) = P(score > threshold | Y = 0, B )
3. Баланс FNR - ложноотрицательных ошибок (FNR == 1 минус recall положительного класса).
P(score <= threshold | Y = 1, A) = P(score <= threshold | Y = 1, B )

В своей работе "Теорема о невозможности кластеризации" Клейнберг доказывает что никакой алгоритм кластеризации не может удовлетворять одновременно трем названным условиям. Масштабная инвариантность нарушается когда для определения принадлежности точки к кластеру используются относительные расстояния с заданным порогом. Насыщенность нарушается, если заранее фиксируется количество кластеров. Согласованность нарушается когда для объединения точек в кластеры используются абсолютные расстояния не превышающие некоторый порог. С другой стороны указанные критерии это субъективное представление о красивом/полезном разбиении множества на группы, с которым необязательно соглашаться. Максимально понятно, без математики, теорема описана тут.

Желание разложить что-угодно по группам на основе схожести - естественная черта человека, но задача кластеризации данных, почти всегда как плохое ТЗ для дизайнера - делай красиво, а не красиво не делай. Какой алгоритм кластеризации хороший, а какой плохой если сравнивать результат их работы не с чем? Джон Клейнберг из Корнеллского университета в 2002 году сформулировал три критерия хорошего алгоритма кластеризации:

- Масштабная инвариантность. Если все расстояния между точками умножить на положительное число, это не должно менять результат работы хорошего алгоритма.
- Насыщенность/разнообразие. Хороший алгоритм способен создать любую произвольную комбинацию разбиения входных данных.
- Согласованность. Если уменьшаем внутрикластерные расстояния и/или увеличиваем межкластерные, алгоритм должен возвращать то же разбиение на кластеры.

Плюсы KAN:
- Авторы обещают, что для обучения на одних и тех же данных KAN требует значительно меньше нейронов по сравнению с MLP.
- Не нужно переобучать с нуля для повышения точности при наличии новых данных. Достаточно добавить больше точек в сетку сплайнов и дообучить модель с новыми данными.
- Заявляется, что модели KAN лучше интерпретируемы. Но мне кажется это работает только для простых датасетов. Если бизнес спросит, почему модель в проде дала такой результат, а вы в ответ покажете большую формулу из вложенных кусочных полиномов, вас вряд ли поймут.

Минусы:
- KAN на порядок дольше обучается.
- По моим наблюдениям, модель довольно неустойчива. С фиксированными гиперпараметрами один seed может дать приемлемое качество, а другой взорвать кривую обучения (напоминает RNN).
- Главное пока нет примеров sota решений KAN для каких-либо серьезных задач.

Привет! Два месяца назад в MIT представили новую архитектуру нейронных сетей — Kolmogorov-Arnold Networks (KAN), которая является альтернативой классическому multilayer perceptron (MLP). Основой KAN является теорема Колмогорова-Арнольда, утверждающая, что любую многомерную функцию можно представить как вложенную комбинацию одномерных функций. Главное отличие от MLP состоит в том, что функции активации в KAN размещены на ребрах сети, а не в ее вершинах. В вершинах остается только суммирование входящих функций. Функции на ребрах задаются взвешенной суммой одномерных сплайнов (кусочных полиномов), именно коэффициенты перед сплайнами выучивает модель.

В продолжении темы про новую ранговую корреляцию. Ее способность улавливать зависимости, которые часто недоступны для корреляций Пирсона, Спирмана, Кендалла и легкость расчета (пара сортировок), делает ее удобным инструментом первичного EDA. Для примера я взял несколько датасетов почти без предобработки, отправляя в NewCorr(X,Y) все фичи как есть (категориальные, числовые, datetime) расстояние между колонками считал как D = 1 - max{NewCorr(X,Y),NewCorr*(Y,X)} и поверх матрицы расстояний иерархическую complete кластеризацию, собирая кластеры для D < 0.5.