Задача 12. Пришло время отправляться домой. Джордж шёл по дороге к пристани и наткнулся на развилку. К сожалению, никаких табличек с указанием правильной дороги не было, зато был находчивый абориген, который предложил ответить на любой вопрос за 10 монет. Буль задумался: путешествие было уже долгим, и денег у него оставалось ровно на один вопрос, а кем был этот островитянин, он не знал. Какой вопрос нужно задать туземцу, чтобы узнать дорогу к пристани?

Решение задачи по ссылке.

Задача 11. Буль зашёл в трактир и увидел, что за круглым столом сидят 15 островитян. Каждый из них говорит: «Оба моих соседа — это лжецы». Сколько рыцарей за столом?

Решение задачи по ссылке.

Вейерштрасс считал, что «нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом», и сам писал стихи. Вот одно из его стихотворений в переводе академика П.Я. Кочиной (первое четверостишие — цитата из стихотворения поэта Августа фон Платена, а остальные отражают мысли самого К. Вейерштрасса):

«Красота есть тайна мира, что в искусстве вновь живёт,
Изгони её из жизни — с ней любовь навек умрёт.
Вздрогнет всё от отвращенья, ночь людей повергнет в страх,
И с последним из поэтов всё погаснет в небесах».

Так сказал поэт. Учёных же Бог вещий одарил
Пониманьем духа мира и гармонии светил:
Истина есть солнце, озаряющее все,
Благо высшее познанья им приносит бытие.

Всё прекрасное, что людям сердце может обновить,
Всё высокое, что в думах — прах наносный удалить,
В душах благородных женщин сплетено в венок один —
То любви уста вещают из сердец своих глубин.

Будучи в науке педантом, действующим по строгому плану, в обычной жизни Вейерштрасс оставался открытым и доброжелательным человеком. По сути он за ручку ввёл в математику 20-летнюю Софью Ковалевскую, которую как женщину не брали ни в российские университеты, ни в немецкие, Вейерштрасс преподавал ей дома. А когда её муж покончил с собой, запутавшись в коммерции, и Ковалевская осталась с маленькой дочкой без средств к существованию, Вейерштрасс задействовал свой авторитет, связи и добился для неё места профессора в Стокгольмском университете. Когда Ковалевская неожиданно умерла в Швеции, он слёг и до своей смерти больше не появлялся в университете.
Вейерштрасс очень нежно и заботливо относился к своей ученице. Сохранилось 88 писем, написанных им ей (а письма Софьи он сжёг, когда узнал о её смерти). Вот отрывок из одного письма:

«Этим, милая Соня, я заканчиваю своё письмо в отношении себя. Надеюсь, Ты уже избавилась от цюрихской атмосферы и дышишь свежим горным воздухом. Во время своего пребывания здесь я очень часто думал о Тебе и представлял себе, как прекрасно было бы, если бы я мог пожить несколько недель с Тобой, друг мой сердечный, среди такой восхитительной природы. Как прекрасно было бы нам — Тебе с Твоей душой, полной фантазии, и мне, возбуждённому и освежённому Твоим энтузиазмом, — помечтать тут над многими задачами, которые нам предстоит разрешить: о конечных и бесконечных пространствах, об устойчивости мировой системы и о всех других великих задачах математики и физики будущего. Но я давно уже научился смиряться с тем, что не каждый прекрасный сон осуществляется.
Мне бросилось в глаза, милый друг, что в своем последнем письме Ты совершенно умалчиваешь о состоянии своего здоровья. Это могло бы меня в известной степени успокоить, так как тот, кто чувствует себя совсем хорошо, об этом и не говорит. Однако, Ты знаешь, что я не сторонник доказательств от противного, которые никогда не дают полной уверенности. Поэтому я прошу прямых данных».

Вейерштрасса называют «отцом современного матанализа» и «образцом математической строгости». По сути он реформировал математический анализ, изгнав из него туманные формулировки, перевёл все понятия в буквенно-численные, сделав его язык сухим, ясным и строгим.
Когда Ньютон разрабатывал математический анализ, он вдохновлялся физическим миром: траекториями планет, колебаниями маятника, движением падающего фрукта:) Такое мышление привело к возникновению геометрической интуиции относительно математических структур. Они должны были иметь такой же смысл, что и физический объект. В результате этого многие математики сосредоточились на изучении «непрерывных» функций. Их можно воспринимать как функции, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Непрерывная функция, как считалось, была «естественной». Вейерштрасс был первым, кто с чисто прусской педантичностью дал строгое определение этому интуитивно ясному понятию. Как писал Анри Пуанкаре: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у неё отнять».
По общепринятому тогда мнению, у любой непрерывной кривой можно найти производную в бесконечном числе точек. Казалось, это соответствовало интуитивному понимаю: у линии может быть несколько изломов, но всегда есть части, которые являются гладкими. Андре-Мари Ампер даже опубликовал «доказательство» этого утверждения, и к середине 19 века оно цитировалось почти в каждом учебнике по математическому анализу.
В 1872 г. Карл Вейерштрасс объявил, что нашёл функцию, являющуюся непрерывной, но не гладкую ни в одной точке. Он создал её, сложив вместе бесконечно длинный ряд функций косинуса:
f(x) = cos(3πx)/2 + cos(3²πx)/2² + cos(3³πx)/2³ + …
Как функция она была уродливой и отвратительной, было даже непонятно, как выглядит её график. Но Вейерштрасса это не волновало: он построил своё чудовище на железной логике и доказал, что для этой новой функции производную вычислить невозможно.
Результат привёл математическое сообщество в состояние шока. Эмиль Пикар сказал, что если бы Ньютон знал о таких функциях, то не создал бы математический анализ и вместо вынашивания идей о физике природы завяз бы в попытках пробраться через жёсткие математические преграды. Чудовище стало расшатывать и предыдущие исследования. Результаты, казавшиеся «доказанными», трещали по швам. Ещё хуже было то, что теперь стало неочевидным, из чего же состоит математическое доказательство. Интуитивные геометрические аргументы двух прошедших веков стали бесполезными. Одним странным примером функции Вейерштрасс показал, что физическая интуиция была ненадёжным основанием для построения математических теорий.
Авторитетные математики попытались отмахнуться от результата, утверждая, что он некрасив и не нужен. Шарль Эрмит писал: «Я в отвращении и ужасе отворачиваюсь от прискорбной скверны функций, не имеющих производных». Анри Пуанкаре, впервые назвавший такие функции чудовищами, назвал работу Вейерштрасса «надругательством над здравым смыслом». Он утверждал, что такие функции — нахальное отвлечение от сути предмета. «Их изобрели с целью показать ошибочность рассуждений наших предшественников», — говорил он. «И кроме этого, мы не сможем ничего из них взять».
Многие из «старой гвардии» хотели оставить чудовище Вейерштрасса на задворках математики. Мешало и то, что никто не мог представить облик существа, с которым они встретились — только после изобретения компьютеров появилась возможность создать его график. Его непостижимая форма мешала осознанию математическим сообществом того, как такая функция вообще может существовать.

Однако, сегодня мы можем сказать, что построенный Вейерштрассом монстр изменил мир матанализа и повлиял на создание новых разделов математики, таких как стохастическое исчисление и теория фракталов, которые, в свою очередь, находят применение в различных областях — гидродинамике, нейробиологии, при описании распространения заболеваний в популяции, биржевого курса и проч.