Три круга

Предлагаю новую задачу по комбинаторной геометрии. Нарисуем три круга в вершинах треугольника, радиусы которых составляют 0,57 от длин его противоположных сторон. Могут ли эти круги накрыть весь треугольник? Легко проверить, что для правильного треугольника
это не так.
Могут ли быть точки, которые накрыты сразу тремя такими кругами?
Ответы пишите в комментариях.

Добежать до границы.

Выкладываю решение задачи о множестве точек внутри полукруга, одинаково удаленных от его границ. Все такие точки лежат на параболе, проходящей через концы диаметра полукруга и делящей его высоту пополам. Причем аналогичный факт верен не только для полукруга, но и для любого кругового сегмента. Доказать его можно даже без теоремы Пифагора и уравнений, пользуясь геометрическим определением параболы.
Интересно, что дойти от взятой произвольно точки полукруга до его периферии более вероятно, чем до диаметра. Эти вероятности относятся примерно как 19 :14.
Решение можно прочесть на рисунке.

Квадрат на сетке

На знакомой всем бумаге в клеточку можно нарисовать квадраты с вершинами в ее узлах, стороны которых идут как по линиям клетчатой сетки, так и под углом к ним. Площади таких квадратов выражаются целым числом клеток.

Интересно, что на такой бумаге одной линейкой также можно рисовать квадраты, у которых все стороны проходят через узлы сетки, а площади не являются целыми числами. Один из таких квадратов показан на рисунке.

Как нарисовать такой квадрат одной линейкой? Чему равна его площадь?

Подвижные чертежи

В следующем посте будут ссылки на коллекцию подвижных чертежей, которые к моему зеленому задачнику в программе Geogebra сделал замечательный преподаватель Алексей Сгибнев из школы Интеллектуал.
Эти чертежи можно показывать на электронной доске или на мониторе компьютера — они привлекают внимание школьников и мотивируют их решать эти задачи. Я считаю, что такие чертежи — это отличный элемент индуктивного образования, когда из опыта у ребят все сначала возникает гипотеза, а уже потом находится решение или доказательство.

Дойти до границы.

Если вы стоите внутри круглой арены цирка и хотите побыстрее ее покинуть, сразу понятно, куда нужно бежать — по радиусу круга, на котором вы находитесь. Если же вы хотите из данной точки быстрее достичь прямой линии, как известно, идти нужно по перпендикуляру к ней.
А что делать, если вы оказались внутри половины круга? Куда следует бежать: к его диаметру или к дуге окружности? Как устроена линия, для которой такие два пути одинаковы?
И что более вероятно: быстрее дойти от произвольной точки полукруга до диаметра или до дуги его окружности?
Как относятся две эти вероятности?

Контрольные на подобие в окружности.

Выкладываю свои контрольные работы на подобные треугольники в окружности, отрезки хорд и касательные по программе 9 класса. Первые два варианта подходят для физмат классов, 3 и 4 – на классы математической вертикали.
Работа рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня ребят.

Спасибо всем, кто пришел!

Вчера в книжном клубе Гиперион прошел  мой концерт — далеко не первый раз в этом замечательном месте. Программа была большая и серьезная — два отделения.
И хотя закончилось все довольно поздно, на концерт пришли школьники с их родителями, учителя, много новых молодых людей и представителей старшего поколения.
Спасибо всем, кто добрался, слушал, думал и переживал. Я подписал много книжек со стихами, а также свои учебники. Один ученик попросил меня подписать чистую тетрадку в клеточку — в подарок своей однокласснице на день рождения. Это было очень трогательно :)
Такие концерты бывают нечасто — приходите и в следующий раз, не пожалеете!

На фрагменте видео последний куплет песни "Колокол" - она о звонаре и бабочке.

Концерт

Для тех, кто не знает: кроме написания учебников я пишу еще стихи и музыку, которые сам же исполняю под гитару.
И поверьте — это не три аккорда:)

Приходите на мой сольный концерт в клуб Гиперион на Китай-городе в понедельник 11 марта. Начало в 20 часов. Помогать вести его будет моя жена Анастасия, она же подыграет мне на кахоне.
В этот раз программа посвящена временам года — ведь на календаре уже весна:)

На сумму углов

По просьбам учителей выкладываю контрольную работу на сумму углов для 7 класса.
Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.