Ездил на Всероссийскую олимпиаду. Там дети массово повадились решать геометрию с помощью ТДИ. Я раньше думал, когда изредка встречал в работах эту аббревиатуру, что школьник мне так снисходительно говорит "ты дебил идиот". А это теорема Дезарга об инволюции. Я несколько раз узнавал, в чём она состоит, и сразу забывал, а сейчас решил, наконец, разобраться.

Интересно, что хотя Жерар Дезарг жил в XVII веке, теорема стала популярной только сейчас: когда я был школьником, никто ничего не слышал про такое.

Теорема Дезарга об инволюции говорит следующее.

Пусть L - некоторое двумерное линейное пространство в трёхмерном пространстве квадратных трёхчленов (точнее, многочленов степени не выше 2 от одной буквы). Для точки x на прямой есть (один с точностью до пропорциональности) трёхчлен из L, обнуляющийся в x. Второй корень этого трёхчлена назовем f(x). Тогда f(x) - инволюция прямой, а теорема в том, что она проективная (= дробно-линейная) .

Доказательство: в L есть линейная функция, не умаляя общности, это функция x, тогда произведение корней у всех ребят из L одинаковое по теореме Виета, поэтому f(x)=const/x.

В геометрии это обычно применяют в таком разрезе. Пусть есть 4 точки на плоскости и прямая p. Рассмотрим пучок коник, проходящих через эти 4 точки. Множество их уравнений это двумерное пространство многочленов от двух букв степени (не выше) 2. Сужая на p, получаем то самое пространство L многочленов уже от одной буквы. То есть инволюция на p, переставляющая точки пересечения p и любой коники этого пучка, проективная.

В качестве коник обычно выступают пары прямых (их есть три штуки: уже выходит нетривиальное утверждение) и (опционально) окружность.

Полезно также проективно двойственное утверждение: если дана точка P и рассматриваются коники, касающиеся 4 данных прямых, то есть проективная инволюция, меняющая местами касательные из P к таким коникам. Например, пусть ABCD - описанный четырёхугольник, тогда есть инволюция, меняющая местами пары прямых PA, PC; PB, PD; касательные из P к его вписанной окружности.

Ответ: p немного больше пятисот

Коллеги напомнили, что был день аппроксимации a=3,14 числа пи. Я больше люблю аппроксимацию b=22/7=3,1428... Эти числа a и b приближают пи с разных сторон и примерно с одинаковой точностью: их полусумма (a+b)/2=3,1414... уже гораздо лучшая аппроксимация, чем каждое из них, но всё же чуть меньше чем пи. Проверьте свою интуицию: прикиньте без компа и вычислений, при каком примерно p среднее степенное порядка p чисел a и b будет равно пи

Завтра хороним Анатолия Моисеевича Вершика, моего великого учителя.

Я общался со многими умными и очень умными людьми, лауреатами и чемпионами. Способными решать дико сложные задачи. Чтобы так видеть
и чувствовать математику - никого.

В последние годы он много говорил и, определённо, ещё больше думал о смерти - при этом был полон планов, и планы как всегда были максимально амбициозные. (конечно, тут нет противоречия). Не как доказать то и это, а как должна быть устроена такая и этакая наука. Людям не с такой интуицией, как у АМ (а это так-то все мы, дорогие друзья) бывало потом удивительно, когда так она устроена и оказывалась.

Несколько вещей, которые непроизвольно воспринимаешь, учась у АМ.

Хороший вкус важнее технической силы. Внутренний интерес к задаче важнее моды. Понимание важнее, чем технически верное доказательства, пока теорема не понята вполне - надо над ней думать, даже если доказательство есть. Важнее уметь задавать вопросы, чем отвечать. Нельзя бояться нового. Вообще нельзя бояться.

Тут канал математический, а не личный, так что позволю себе привести один пример из творчества АМ. Станислав Улам поставил вопрос о размере максимальной возрастающей подпоследовательности в случайной перестановке большого числа n. Он был решён Вершиком и Керовым (1984), в двух словах так: надо сопоставить перестановке диаграмму Юнга с помощью алгоритма Робинсона - Шенстеда - Кнута, тогда максимальной возрастающей подпоследовательности соответствует её первая строка. Сколько раз получена каждая диаграмма, говорит формула крюков. Логарифм произведения крюков аппроксимируется интегралом, максимум интеграла находится стандартными методами, и так получается не только длина первой строки, но и вся предельная форма диаграммы, известная сейчас как кривая Вершика - Керова - Логана - Шеппа (задачу Улама Логан и Шепп, действовавшие независимо, при этом не решили: это более тонкий вопрос, чем предельная форма).

Таких вопросов в вероятностной и экстремальной комбинаторике можно задать и задают сколько угодно. И вообще-то АМ этой темой самой по себе не занимался. И совершенно не удивительно, только так и могло быть, что он ответил именно на тот, из которого в скорости выросла целая большая наука, со случайными матрицами, точечными процессами, специальными функциями и всем что вы можете вообразить - см. напр. пленарный доклад на ICM 2006 Ричарда Стенли или книжку Дана Ромика "The Surprising Mathematics of Longest Increasing Subsequences".

с комментами в этом канале что-то стало не то, так что присоединяйтесь к чат-каналу https://t.me/+HpH445wOx580ZDIy

Telegram

Fpmath comments

You’ve been invited to join this group on Telegram.

На днях скончался Виктор Губа, прекрасный математик, известный математическому рунету как falcao (это сокол по-португальски, он любил Португалию)

Он занимался алгеброй слов. Самое известное его достижение — теория, изложенная в мемуаре с Марком Сапиром (который тоже скончался в этом году) диаграммных групп. Но глубоко понимал и много чего другого.

Он очень повлиял на меня и с математической и с других сторон.

Кто знал, помяните его.

Кто не знал - почитайте его посты, где предельно ясно излагаются интересные вещи:

парадокс Банаха - Тарского
https://ru-math.livejournal.com/327175.html

аменабельность
https://ru-math.livejournal.com/328451.html

переписывающие системы, diamond lemma
https://ru-math.livejournal.com/329146.html

случайное и детерминированное
https://falcao.livejournal.com/5243.html
https://falcao.livejournal.com/5407.html

теорема Гурвица (о тождествах для произведений сумм квадратов)
https://virtual-ium.livejournal.com/15834.html

трансцендентность e и pi
https://virtual-ium.livejournal.com/22252.html
https://virtual-ium.livejournal.com/22404.html

невычислимые функции
https://falcao.livejournal.com/325469.html

Livejournal

К парадоксу Банаха -- Тарского

Под "катом" -- обсуждение известного парадокса Банаха -- Тарского, а также схема его доказательства. Не так давно где-то вспоминали этот старый добрый парадокс. Собственно, парадоксального в нём ничего нет: статус парадокса -- это лишь ставшая привычной "этикетка".…

@ivanovmp разъяснил, как пользоваться этим ботом: там можно задать преамбулу для общения с ним, что, в частности, помогает понимать русский язык. Но есть ограничения по числу символов, типа 255.

Извините за спам, пытаюсь разобраться. Не очень удобно пока что:(