Умер Сергей Маркелов.

Не помню, кто мне его впервые представил — кажется, это было в 1997 году, когда я был в 9 классе, — но помню, как: вот чел, который может решить любую задачу по геометрии.

Летом 1998 года я ездил под Гамбург на Летнюю конференцию турнира городов. Это такое мероприятие, на котором школьники вникают в некоторый сюжет и размышляют о нём типа не как на олимпиадах, а как взрослые. Мне повезло, что на той конференции был замечательный сюжет, предложенный С. М., но представленный не им, а Михаилом Вялым — о том, что во многих утверждениях евклидовой геометрии можно заменить окружности на параболы с вертикальной осью (случайный пример: если на сторонах треугольника ABC отметить точки A₁, B₁, C₁, то ~~окружности~~ параболы с вертикальными осями AB₁C₁, BA₁C₁, CA₁B₁ имеют общую точку). Мы занимались им с Сергеем Тихомировым и довольно много всего про это поняли, но, кажется, полностью это до сих пор понятно не вполне. Вот наша работа для питерской книжки с С. Т., написанная по следам той конфы.

Для натурального числа m определим f(m) как наименьшую возможную степень многочлена с целыми неотрицательными коэффициентами, который приводим, но его значение в точке m - простое число. Тогда

lim f(m)/m=π.

via Hiroki Tokuyama

На Южном математическом турнире (пользуясь случаем, поздравляю с победой команду солнечного Саранска) выдали следующую лемму. Выходит, не все её знают, так что напомню свой старый пост в книге лиц, в котором из неё выводится Рождественская теорема Ферма.

Лемма (обратное неравенство Коши-Буняковского-Шварца, шорт-лист IMO 1995 A2). Если a,b,c — неотрицательные целые числа и ab-c² неотрицательно, то существуют два вектора x,y с целыми координатами (одной и той же, может быть большой, размерности) такие, что a,b — квадраты их норм, а c — их скалярное произведение. Иначе говоря: если квадратный трёхчлен f(t)=at²+2ct+b неотрицателен на вещественной оси, то его можно представить как сумму квадратов линейных [аффинных, если вам так нравится - ФП] функций с целыми коэффициентами:

f(t) =sum (x_i t+y_i)²

Доказательство леммы. Предположим противное и возьмём контрпример с минимальным c. Если min(a,b,c)=c, то

f(t)=c(t+1)²+(a-c)t²+(b-c) 1² —

искомое представление. Если, скажем, c>a, то возьмем трёхчлен f(t-1), то есть тройку (a, b-2c+a, c-a), по минимальности c она уже не является контрпримером, а из представления в нужном виде трёхчлена f(t-1) получается представление f(t) сдвигом буквы t на 1.

Теперь

Рождественская теорема Ферма. Если p=4k+1 простое, то p есть сумма двух квадратов целых чисел.

Доказательство. При некоторм целом c число p делит c²+1 (простое доказательство: иначе остатки от 2 до 4k-1 по модулю p разбиваются на четвёрки вида (y, - y, 1/y,-1/y)):

ap=c²+1.

Используя лемму, находим векторы x,y с x²=a, y²=p, c=xy=sum(x_i y_i). Возьмем любой индекс i, для которого y_i≠0. Обозначим x_i=X, y_i=Y. Имеем

1-(pX²+aY²-2cXY)=(a-X²)(p-Y²)-(c-XY)²⩾0

(это КБШ для векторов x, y без i-ой координаты).

Умножая на p и подставляя ap=c²+1 в левую часть, получаем
p-(pX-cY)²-Y²⩾0, но левая часть кратна p (и меньше p, так как Y≠0), поэтому она равна 0.

Не то чтоб мне нравились эти задачи, но поговорить можно.

Что-то с трансляцией в ютуб не выходит, идите в зум кто хотел смотреть

Ездил на Всероссийскую олимпиаду. Там дети массово повадились решать геометрию с помощью ТДИ. Я раньше думал, когда изредка встречал в работах эту аббревиатуру, что школьник мне так снисходительно говорит "ты дебил идиот". А это теорема Дезарга об инволюции. Я несколько раз узнавал, в чём она состоит, и сразу забывал, а сейчас решил, наконец, разобраться.

Интересно, что хотя Жерар Дезарг жил в XVII веке, теорема стала популярной только сейчас: когда я был школьником, никто ничего не слышал про такое.

Теорема Дезарга об инволюции говорит следующее.

Пусть L - некоторое двумерное линейное пространство в трёхмерном пространстве квадратных трёхчленов (точнее, многочленов степени не выше 2 от одной буквы). Для точки x на прямой есть (один с точностью до пропорциональности) трёхчлен из L, обнуляющийся в x. Второй корень этого трёхчлена назовем f(x). Тогда f(x) - инволюция прямой, а теорема в том, что она проективная (= дробно-линейная) .

Доказательство: в L есть линейная функция, не умаляя общности, это функция x, тогда произведение корней у всех ребят из L одинаковое по теореме Виета, поэтому f(x)=const/x.

В геометрии это обычно применяют в таком разрезе. Пусть есть 4 точки на плоскости и прямая p. Рассмотрим пучок коник, проходящих через эти 4 точки. Множество их уравнений это двумерное пространство многочленов от двух букв степени (не выше) 2. Сужая на p, получаем то самое пространство L многочленов уже от одной буквы. То есть инволюция на p, переставляющая точки пересечения p и любой коники этого пучка, проективная.

В качестве коник обычно выступают пары прямых (их есть три штуки: уже выходит нетривиальное утверждение) и (опционально) окружность.

Полезно также проективно двойственное утверждение: если дана точка P и рассматриваются коники, касающиеся 4 данных прямых, то есть проективная инволюция, меняющая местами касательные из P к таким коникам. Например, пусть ABCD - описанный четырёхугольник, тогда есть инволюция, меняющая местами пары прямых PA, PC; PB, PD; касательные из P к его вписанной окружности.