Теперь комментарии как во всех нормальных группах, а не с этим ботом! А старые посты уже не перевести в этот режим?

решение про волейбол (статистику сами видите, честно говоря, я ожидал другого)

В варианте (b) можно считать, что пифагорейцы подают 100 раз, а вольтерьянцы 99 раз (если матч закончился раньше, пусть всё равно доподают). В варианте (а) пифагорейцы к окончанию матча подали не больше чем 100 раз (поскольку когда они подают 101-й раз, это значит, что они уже набрали 100 очков), аналогично, вольтерьянцы - не более 99 раз. Так что пусть они играют после того, как одна из команд набрала 100 очков, до тех пор, пока пифагорейцы не подадут 100 раз, а вольтерьянцы 99, и мы включим в список розыгрышей, по которым подводится итог, ровно упомянутые 100+99=199 розыгрышей.

Собственно, это уже доказывает, что вероятности равны. Действительно, для любого элементарного исхода в варианте (b) (типа: пифагорейцы выиграли на своей подачи розыгрыши номер такие-то, и на чужой розыгрыши номер сякие-то), аналогичный элементарный исход в варианте (а) имеет ту же вероятность.

(задачу подглядел в фб)

Проверьте свою интуицию (опрос постом выше).

Волейбольные команды Пифагорейцы и Вольтерьянцы хотят сыграть партию до 100 очков (при этом она может закончиться с перевесом в одно очко). Пифагорейцы (они подают первыми) выигрывают каждое очко на своей подаче с вероятностью 99%, а Вольтерьянцы - с вероятностью 98%. Они обсуждают два возможных правила перехода подачи:

(a) как обычно в волейболе: подача переходит к противнику, когда подающая команда проигрывает очко;

(b) подачи просто чередуются: Пифагорейцы - Вольтерьянцы - Пифагорейцы - Вольтерьянцы и т. д.

Умер Сергей Маркелов.

Не помню, кто мне его впервые представил — кажется, это было в 1997 году, когда я был в 9 классе, — но помню, как: вот чел, который может решить любую задачу по геометрии.

Летом 1998 года я ездил под Гамбург на Летнюю конференцию турнира городов. Это такое мероприятие, на котором школьники вникают в некоторый сюжет и размышляют о нём типа не как на олимпиадах, а как взрослые. Мне повезло, что на той конференции был замечательный сюжет, предложенный С. М., но представленный не им, а Михаилом Вялым — о том, что во многих утверждениях евклидовой геометрии можно заменить окружности на параболы с вертикальной осью (случайный пример: если на сторонах треугольника ABC отметить точки A₁, B₁, C₁, то ~~окружности~~ параболы с вертикальными осями AB₁C₁, BA₁C₁, CA₁B₁ имеют общую точку). Мы занимались им с Сергеем Тихомировым и довольно много всего про это поняли, но, кажется, полностью это до сих пор понятно не вполне. Вот наша работа для питерской книжки с С. Т., написанная по следам той конфы.

Для натурального числа m определим f(m) как наименьшую возможную степень многочлена с целыми неотрицательными коэффициентами, который приводим, но его значение в точке m - простое число. Тогда

lim f(m)/m=π.

via Hiroki Tokuyama

На Южном математическом турнире (пользуясь случаем, поздравляю с победой команду солнечного Саранска) выдали следующую лемму. Выходит, не все её знают, так что напомню свой старый пост в книге лиц, в котором из неё выводится Рождественская теорема Ферма.

Лемма (обратное неравенство Коши-Буняковского-Шварца, шорт-лист IMO 1995 A2). Если a,b,c — неотрицательные целые числа и ab-c² неотрицательно, то существуют два вектора x,y с целыми координатами (одной и той же, может быть большой, размерности) такие, что a,b — квадраты их норм, а c — их скалярное произведение. Иначе говоря: если квадратный трёхчлен f(t)=at²+2ct+b неотрицателен на вещественной оси, то его можно представить как сумму квадратов линейных [аффинных, если вам так нравится - ФП] функций с целыми коэффициентами:

f(t) =sum (x_i t+y_i)²

Доказательство леммы. Предположим противное и возьмём контрпример с минимальным c. Если min(a,b,c)=c, то

f(t)=c(t+1)²+(a-c)t²+(b-c) 1² —

искомое представление. Если, скажем, c>a, то возьмем трёхчлен f(t-1), то есть тройку (a, b-2c+a, c-a), по минимальности c она уже не является контрпримером, а из представления в нужном виде трёхчлена f(t-1) получается представление f(t) сдвигом буквы t на 1.

Теперь

Рождественская теорема Ферма. Если p=4k+1 простое, то p есть сумма двух квадратов целых чисел.

Доказательство. При некоторм целом c число p делит c²+1 (простое доказательство: иначе остатки от 2 до 4k-1 по модулю p разбиваются на четвёрки вида (y, - y, 1/y,-1/y)):

ap=c²+1.

Используя лемму, находим векторы x,y с x²=a, y²=p, c=xy=sum(x_i y_i). Возьмем любой индекс i, для которого y_i≠0. Обозначим x_i=X, y_i=Y. Имеем

1-(pX²+aY²-2cXY)=(a-X²)(p-Y²)-(c-XY)²⩾0

(это КБШ для векторов x, y без i-ой координаты).

Умножая на p и подставляя ap=c²+1 в левую часть, получаем
p-(pX-cY)²-Y²⩾0, но левая часть кратна p (и меньше p, так как Y≠0), поэтому она равна 0.

Не то чтоб мне нравились эти задачи, но поговорить можно.

Что-то с трансляцией в ютуб не выходит, идите в зум кто хотел смотреть