Правда ли что у такого функционального уравнения решениями являются только квадратные трёхчлены?

Вот ещё кусок во введение добавим:

Is there something special and unique about St. Petersburg mathematicians and their mathematics? We certainly think so. Despite being a relatively young city, St. Petersburg, just over 300 years old, has established a prominent place in the world of mathematics. It was therefore fitting that St. Petersburg was selected to host the ICM 2022, where we planned a grand celebration of mathematics, welcoming mathematicians from around the globe. We wanted to give everyone a taste of local mathematical traditions, so we decided to prepare a short, coffee-table book to present some mathematical discoveries and personal anecdotes from around twenty St. Petersburg mathematicians. The goal was to make the content informative yet accessible, even for those who aren't particularly interested in the history or study of mathematics, showcasing the beauty of mathematical ideas and portraying their authors as relatable humans, rather than as cold-hearted calculators.

However, as often happens, life had other plans. The book was never published in its intended, the congress was moved online by the IMU EC. As we worked on what was initially meant to be a brief and light-hearted book, it began to evolve into something more comprehensive and profound—a very different genre. While this new direction may appeal to a smaller audience, it has become more interesting and informative. We still hope that this new format will attract many readers, not just mathematicians interested in their field's development, but also those well-versed in history who might find something new and worthwhile.

Should we be interested in the history of mathematical discoveries and the stories of the people behind them? We believe so, as these stories are not only engaging but can also teach us valuable lessons for our lives and studies today. Perhaps it's fitting that a new book in a new form emerged, especially as it coincides with the celebration of 300 years of science in St. Petersburg in 2024.

Не говорить, что книга была к конгрессу и его отменили — странно. Писать про это подробнее тоже никак. Вот такая Σκύλλα и Χάρυβδις

и вот ещё вопрос по теории чисел: всегда раздражало меня, что нет тождеств для log(A)*log(B) ну то есть можно написать что-то нелепое вроде log(A^log(B)) но это не то. Про синусы есть тождества, про полиномы есть, про факториалы есть, а про логарифмы — нет.

Бывают ли вообще формулы, где встречаются произведения логарифмов?

Типа, может Рамануджан придумал что-нибудь, не знаю, типа просуммировать log(sin(n))*log(cos(n)) и красивое получить.

Видимо, эквивалентный вопрос — это бывают ли формулы, где появляется e^e^{...}

А в следующем семестре преподаю теорию чисел. В школе и университете я её не любил (потому что выглядит как смесь удивительных совпадений в формулах, где никакой картинки не придумать), а последние лет 5 всё больше и больше мне нравилось (как раз удивительные совпадения!)

Расскажите, какие у вас любимые факты теории чисел, которые можно за полчаса рассказать 2-3 курсникам математикам?

Хочется либо на практике поразбирать в виде подборок задач, либо короткими отступлениями обсуждать иногда чудеса
(основной учебник: A classical introduction to modern number theory / K. Ireland, M. Rosen, он последовательный и строгий, без отступлений и чудес).

Много раз меня удивляло следующее: студент вроде всё понимает в курсе, а потом, рраз, и вдруг выясняется, что не понимает что-то совсем базовое и элементарное, объясняешь это, и всё снова хорошо, снова всё понимает.

Придумал этому объяснение: есть метафора (у Tessier вычитал) — что математические тексты они как истории с персонажами. Всё уже логично — но должно быть и драматургически согласованно. А литературные — в них уже драматургия, но должно быть логически правильно тоже ("логика мира" должна соблюдаться).

И вот если материал курса воспринимать как историю (и жизни) — этот пошёл туда, сказал и сделал то, привело к этому — и воспринятую в пересказе и через новости.

Потом выясняется, что какие-то детали в истории умолчаны, а есть даже и прямое враньё. Это необязательно ведёт к тому, что выводы из истории неправильные. Просто уточняется мотивация персонажей, они начинают играть новыми красками.

Если противоречий слишком много, то картинка может обрушиться и что-то новое выстроится на её месте, новое понимание. Или ничего не выстроится, снова станет всё непонятно.

Так же и с доказательствами получается. В голове всё живёт смесью силлогизмов и аналогий, и картинка должна быть согласованной (как в историях из жизни). Поэтому неправильное понимание какого-то базового факта может и не влиять на общее понимание главных результатов, примеров и тд.

Рассмотрим бросания честной монетки, и пусть S_n — количество орлов среди n бросаний.

Во всех курсах теорвера доказывают, что S_n/n сходится к 1/2 с вероятностью 1, при n стремящемся к бесконечности.

И мне всегда было трудно понять доказательство. Формально оно выглядит так: вместо монеток у нас появляется дискретные распределения S_n на прямой. А дальше, посредством магии неравенства Чебышева (это ладно) и факта о том, что дисперсия суммы независимых случайных величин это сумма дисперсий (это, по-моему, легко доказать, но понять хоть в каком-то геометрическом смысле невозможно — научите меня!), всё и доказывается.

Между тем, душа жаждала другого: рассмотрим пространство всех бесконечных последовательностей орлов и решек, там можно завести сигма-алгебру и функцию вероятности. Дальше для некоторых бесконечных последовательностей предел S_n/n существует. Скажите, где написано, что почти для всех последовательностей он существует и равен 1/2? Это ведь совсем не равносильно существованию предела в предыдущем абзаце.

Какие нужны качества для занятия наукой? Я довольно долго думал, что нужны в первую очередь способности (а их, условно говоря, можно замерить олимпиадами и хорошей учёбой).

Жизненный опыт говорит, что для занятий наукой нужны
а) способности б) характер в) жизненные обстоятельства.

Характер — самая тонкая часть, это всё о какой-то внутренней жизни человека. Наверное, харизматичные лидеры научных школ (условные Гельфанд/Арнольд/...) влияли на характер и вкусы и воспитывали их. Но я такого никогда не видел (расскажите, вдруг вы знаете как воспитывать характер хотя бы у себя, не говоря уж про учеников?). В общем, по мне, так самая неподконтрольная часть. И измерять её сложно.

в) жизненные обстоятельства. Человек может попасть в неправильную среду (слишком сильно/слабо конкурентную) или в правильную (где все примерно одним интересуются, роют в одну сторону и друг друга мотивируют), поехать туда или сюда, случайно познакомиться с тем или тем, личная жизнь очевидным образом влияет.

И, кажется, что жизненные обстоятельства и характер — это факторы, не менее сильно влияющие на результат, чем способности (которые, конечно, в каком-то смысле просто стартовые условия, и могу сильно поменяться даже за год-два, не говоря уж про десятилетия, при правильном характере и обстоятельствах).

Способности влияют на шансы попасть в правильную среду, среда влияет на воспитание характера, характер влияет на развитие способностей, и далее по кругу.

"парадокс" Монти Холла:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?"

Говорят (битая ссылка в википедии), Эрдеш не верил в правильное решение, пока симуляцию не показали.

А вот ещё парадокс коробок Бертрана. Есть три коробки:

первая содержит две золотых монеты.
вторая содержит две серебряные монеты.
третья содержит одну золотую и одну серебряную монету.
После выбора случайной коробки и случайной монеты из нее, выбранная монета оказалась золотой. Какова вероятность того, что вторая монета в выбранной коробке также золотая?

Может показаться, что такая вероятность равна 1/2, но правильный ответ — 2/3.

Какие ещё прикольные задачки по теорверу знаете (или мб есть подборка?) Это я теорвер в этом семестре веду, а никогда раньше не вёл.