Можно ещё всё это сделать прямо в трёхмерном пространстве — благо, что третье (перпендикулярное плоскости орбиты) направление задаётся вектором момента импульса. И тогда новый сохраняющийся вектор «виртуального» момента тоже будет там же — и вроде бы (я не доводил счёт до конца, но ничего другого получиться не должно) это должен быть вектор Лапласа—Рунге—Ленца, разве что, делённый на квадрат массы (и может быть, ещё на какую-нибудь константу?).

\sqrt{r^2 + (vt)^2} = r \sqrt{1 + (vt/r)^2} = r + (1/2) (vt)^2 / r + o(t^2),
так что вторая производная равна

v^2/r = (vr)^2 / r^3.

Числитель — (vr)^2 — это квадрат углового момента. Так что он вдоль орбиты всегда один и тот же!
А знаменатель r^3 — как раз и соответствует закону всемирного тяготения: куб, как и раньше. Так что, если взять константу
l = (vr)^2/ (GM),
то для разницы (r-l) будет
(r-l)’’ = r’’ = hr + (vr)^2 / r^3
= - GM r / r^3 + (vr)^2 / r^3
= - GM / r^3 * (r- l)
= h (r-l).

Так что трёхмерный вектор R = (x,y,r-l) подчиняется центральному закону
R’’ = h R, h = -GM/r^3.

Ура — теорема доказана!

В исходной плоскости (x,y) действует радиальная сила, поэтому вектор ускорения (x’’,y’’) пропорционален радиус-вектору r=(x,y) — с коэффициентом
h=-GM/r^3
(в знаменателе куб, потому что нам нужен единичный вектор в нужном направлении, а это отношение r/r, вот ещё одна степень r в знаменателе и появляется).

Поэтому
x’’ = hx
y’’ = hy.

Если бы радиус r был линейной комбинацией x и y, то для его второй производной было бы такое же соотношение, и центр даже двигать бы не пришлось. Но — давайте зафиксируем единичный вектор b=(b_x,b_y), в начальный момент направленный по радиусу, и рассмотрим линейную функцию (r,b) = b_x x + b_y y.

Эта линейная функция в первом порядке совпадает с радиусом r, а на радиальном луче совпадает с ним совсем. Так что их вторые производные будут отличаться только за счёт вклада от перпендикулярного радиусу движения точки :

r’’= b_x x’’ + b_y y’’ + (вклад от перпендикулярного движения)
= hr + (вклад от перпендикулярного движения)

Если v — это нормальная к радиусу компонента скорости, то этот вклад это
v^2 * (вторую производную радиуса при движении по касательной к окружности),
или, что то же самое, вторая производная при движении по касательной к окружности со скоростью v.
И вот сейчас момент импульса (секториальная скорость) и вылезет — ведь ровно за него/неё перпендикулярная радиусу скорость v и отвечает!

https://www.shawprize.org/laureates/2024-mathematical-sciences/

The Shaw Prize in Mathematical Sciences 2024 is awarded to Peter Sarnak, Gopal Prasad Professor, School of Mathematics, Institute for Advanced Study and Eugene Higgins Professor of Mathematics, Princeton University, USA, for his development of the arithmetic theory of thin groups and the affine sieve, by bringing together number theory, analysis, combinatorics, dynamics, geometry and spectral theory.

Ответ на этот вопрос даёт формула Лефшеца.

Выглядит она так. Раз отображение f действует на многообразии M — оно действует и на всех k-мерных гомологиях
H_k(M,\R)
(которые мы будем рассматривать с вещественными коэффициентами, так что это векторное пространство).

Слово «гомологии» заслуживает отдельного комментария, но если вы с ними не сталкивались — давайте временно ограничимся тем, что это какие-то векторные пространства, сопоставленные многообразию, и измеряющие, насколько в нём есть что-то нетривиальное «в размерности k». Например, у сферы с g ручками нуль-мерные гомологии это одномерное пространство (порождённое «точкой»), двумерные гомологии это тоже одномерное пространство (порождённое «всей поверхностью»), а вот одномерные гомологии это пространство размерности 2g (порождённые обходами «вдоль» и «поперёк» каждой из ручек — или, что то же самое, «параллелями» и «меридианами» каждого из g торов, как связную сумму которых можно представить поверхность).

Так вот — отображение f действует на каждом из пространств k-мерных гомологий как линейное преобразование. А с линейным преобразованием много чего связано — в частности, можно рассмотреть след
tr (f_* , H_k(M,\R))

Давайте посмотрим на знакопеременную сумму таких следов. Оказывается, это и есть ответ!

Теорема (формула Лефшеца).
\sum_{f(p)=p} ind_f(p) = \sum_{k=0}^n tr(f_* , H_k(M,\R)).

То есть — сумма индексов неподвижных точек отображения определяется тем, как именно оно «перекручивает» многообразие. Красиво, правда?

Пример. Возьмём векторное поле v и «проедем» вдоль него небольшое время t_0 — получив диффеоморфизм f. Его неподвижные точки это в точности особые точки v (если время было достаточно малым, чтобы ни одну периодическую орбиту мы не успели полностью проехать). И индексы у них для отображения и для векторного поля одни и те же. Так что по теореме Пуанкаре–Хопфа сумма их индексов равна эйлеровой характеристике.

С другой стороны, заметим, что f гомотопно тождественному отображению (что f в тождественное отображение «можно перетянуть»). Действительно, достаточно рассмотреть семейство сдвигов вдоль того же векторного поля v за разные времена t. При t=0 это тождественное отображение, а при t=t_0 — наше f. Вот мы непрерывно и перетянули f в id.

А гомотопные отображения одинаково действуют на гомологиях. Так что для такого f его действие на каждых гомологиях просто тождественно, и значит, каждый след это просто размерность соответствующего пространства гомологий. А знакопеременная сумма размерностей пространств гомологий действительно равна эйлеровой характеристике!

P.S. Несколько ссылок про гомологии:
- курс В. А. Васильева «Гомологии, наборы плоскостей и формула включений-исключений» в ЛШСМ-2011: https://www.mathnet.ru/present3568
- книга В. В. Прасолова «Элементы теории гомологий», МЦНМО, 2006 https://old.mccme.ru/free-books/prasolov/homol.pdf
- курс Г. Ю. Паниной в ЛШСМ-2023: https://old.mccme.ru//dubna//2023/courses/panina.html

Wikipedia

Число Лефшеца

Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.

Продолжим? Представим себе, что у нас векторное поле v задано не на плоскости, а на какой-то ориентированной поверхности S — сфере, торе, кренделе, и т. д. То есть нам дана поверхность S, и в каждой точке p\in S задан вектор v(p), касательный к S в этой точке.…

какими формулами задаются «Вавилонские» итерации?

если одна сторона прямоугольника площади 2 равна x, то вторая равна 2/x

дальше мы заменяем x на среднее арифметическое двух сторон, x→x/2+1/x (и прямоугольники становятся все ближе к квадратам, а x все ближе к √2)

сравним это с методом Ньютона: чтобы найти корень уравнения f(x_0)=0, мы начинаем с какого-то x и представляем себе, что f примерно линейная — если f(x+t)≈f(x)+tf'(x), то f≈0 при t=-f(x)/f'(x), т.е. новое приближение получается заменой x→x-f(x)/f'(x)

в частности, для функции x²-2 мы получаем те же самые итерации: x-(x²-2)/(2x)=x/2+1/x

Очень логично было бы доказывать, например, неравенство экспоненциального роста: L_{n+1} >= c*L_n, где c>1 — какая-то (хорошо выбранная) константа. Разумеется, доказывать — по индукции. Потому что если L_n экспоненциально растёт, то вычитаемые L_{n+1-k}…

Очень естественно такое искать, заменив конечную сумму (до r=29) на бесконечную (что соответствует тому, что запреты Кощея не останавливаются на 30 нотах). Понятно, что неравенство станет сильнее, поэтому то c, которое ему будет удовлетворять, подойдёт и для исходного.

Дальше — есть несколько путей. Можно просто угадать, что для золотого сечения
с=φ=(1+\sqrt{5})/2
неравенство обращается в равенство. Потому что сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/φ, начинающейся с 1, равна
1/(1- 1/φ) = 1/ (1/φ^2) = φ^2;
значит, в левой части получается
2- φ^{-4} * φ^2= 2- 1/φ^2 = 2 - (1-1/φ) = 1+ 1/φ = φ.

Второй путь — можно сказать, что сумма геометрической прогрессии равна
c^{-4} / (1-c^{-1}) = c^{-3} / (c-1);
так что мы ищем такое c, для которого

2 - с^{-3} / (c-1) >= c.

Если привести к общему знаменателю и перенести c в левую часть — получается полиномиальное неравенство

(2-c) c^3 (c-1) - 1 >=0.

Опять же, можно ещё раз увидеть, что на золотом сечении неравенство обращается в равенство ( 2-φ = 1/φ^2, φ-1 = 1/φ ), но можно и заметить, что какое-нибудь конкретное c этому неравенству удовлетворяет. И таких c есть целый интервал от золотого сечения φ=1.618… до чуть больше, чем 1.75. Достаточно проверить неравенство для любого из них.

Наконец, где золотое сечение — там и последовательность Фибоначчи. И отсюда и вариант решения, когда вместо чистого геометрического роста доказывается неравенство L_{n+1} >= L_n + L_{n-1}.