#Juft-toqlik

Hajmi: 68 bet
O'lchami: A5
Tili: O'zbek tilida
Yo'nalish: Kombinatorika
Kim uchun: 5-sinf va undan yuqori barcha sinf o'quvchilari uchun
Kitob afzalliklari:
✅ Barcha 100 dan ortiq masalalar yechimlari bilan tahlil qilingan
✅ Mustaqil o'rganish uchun qulay
✅ Aksariyat masalalarda o'qituvchilar uchun maslahatlar berilgan
✅ 4 ta mashg'ulotda 42 ta masala tahlil qilingan.
✅ Kitob oxirida esa o'tilgan har bir mavzuga doir murakkabroq qo'shimcha masalalar va ularning yechimlari tahlil qilib berilgan
✅ O'qituvchilarga qulaylik yaratish uchun har bir mavzuga oid masalalar tarqatma material shaklida alohida bo'limda berilgan

Sotib olish uchun:
📲 +998 94 324 10 50
✏️ @umc_admin

Kitob tarjimasi uchun Qudratillo Usmanovga Latex bo'yicha Doston Musurmonovga minnatdorchilik bildiramiz. UzMathCommunity jamoasidagi barcha trenerlarga olimpiada yosh avlod uchun o'zbek tilidagi kitoblarni ko'paytirishda qo'shayotgan hissalari uchun minnatdorchilik bildiramiz.

Xato va kamchiliklar uchun uzr so'raymiz. Xato va kamchiliklar aniqlansa @umc_admin ga murojaat qilishingizni so'raymiz.

👉 @iqtidorbooks

Ushbu kitobimiz hozirda https://asaxiy.uz/ platformasida ham sotuvda mavjud.

#IMO2024_finalresults

Terma jamoamiz 2 ta kumush ? hamda 3 ta bronza ?medallarni qo’lga kiritgani bilan ularni va barcha o’qituvchilar va trenerlar tarkibini tabriklayman.

Jamoamiz yosh bo’lishiga qaramasdan juda yaxshi natija ko’rsatdi deb o’ylayman.

Asadbekdan esa biz keyingi yil IMOda albatta oltin medal kutib qolamiz.

?Uzb 1 Boboqulov Asadbek (1-kurs)
?Uzb 2 Suyunova Madina (11-sinf)
?Uzb 3 Zohidjonov Elbek (9-sinf
?Uzb 4 Axtamov Ozodbek (10-sinf)
?Uzb 5 G’afforov Rasulbek (9-sinf)
?Uzb 6 Jaylovov To’lqin (9-sinf)

#IMO2024_results

Uzb 1 Boboqulov Asadbek - 3 ball (1-kurs)
Uzb 2 Suyunova Madina - 17 ball (11-sinf)
Uzb 3 Zohidjonov Elbek - 24 ball (9-sinf)
Uzb 4 Axtamov Ozodbek - 21 ball (10-sinf)
Uzb 5 G’afforov Rasulbek - 21 ball (9-sinf)
Uzb 6 Jaylovov To’lqin - 24 ball (9-sinf)

IMSC masalalari va UZB Team natijalari...

Jamoaga IMO da omad tilaymiz!

@geoporism

Barcha TASIMO masalalari AoPS da, muhokamalarga qatnashing, o'z yechimlaringiz bilan bo'lishing:

https://artofproblemsolving.com/community/c3834811_2024_tasimo

Daraja ancha yuqori; keyingi yillarda ko'plab davlatlardan jamoalar qatnashishi ehtimoli juda katta!

@geoporism

1st TASIMO (Tashkent International Mathematical Olympiad) ning 1-kun masalalari AoPS da:

P1: https://artofproblemsolving.com/community/c6h3322281p30733197
(proposed by Avan Lim Zenn Ee, Malaysia)

P2: https://artofproblemsolving.com/community/c6h3322282p30733201
(proposed by Navid Safaei, Iran)

P3: https://artofproblemsolving.com/community/c6h3322283p30733203
(proposed by David Hrushka, Slovakia)

@geoporism

-- 2-qism: --

Yuqoridagi yechimda agar q toq bo'lsa, mod 17 bo'yicha qarab ko'raylikchi degan "kichkina fokus" ishlatildi.

Faraz qiling, q toqligini bildingiz, lekin mod 17 bo'yicha () ni tekshirib ko'rishni sezmadingiz (bu tabiiy),
*U holda qachondir ziddiyatga kelguncha asosiy algoritmni davom ettiramiz!

[yuqoridagi yechimda BINGO degan abzasni o'chirib quyidagi bo'yicha davom etsangiz, 2-yechim kelib chiqadi]**

2^{36}-1 soni 2^{18}-1 ga bo'linadi, u esa Fermadan 19 ga bo'linadi. Demak, 3^{8p}-1 ham 19 ga bo'linishi kerak. Yana quadratic reciprocity law dan 3 ning mod 19 bo'yicha quadratic qoldiq emasligi keladi, tabiiy-ki, 3 ning mod 19 bo'yicha orderi 18. Bu esa 8p ni 18 ga bo'linishini beradi, xullas (*) tenglama

27(3^{72p} - 1) = 32(2^{36q} - 1) (**) ga o'tadi.

Endi, 1-qismdagidek asosiy algoritmning savolini qo'yamiz:

2^{36}-1 va 2^{72}-1 larning farqi nimada?

Javob oddiy 2^{36}+1 sonida! Bu son 2^{12}+1 ga bu ham esa 2^{4}+1 va 2^{8}-2^{4}+1 ga karrali. Birinchisi haqida keyinroq to'xtalamiz (ziddiyat uchun aynan shu kerak), ikkinchi son 241 ga teng, va bu tub son!

--------------------
241 ning hikoyasi:2 soni mod 241 bo'yicha kvadratik qoldik, tekshirish mumkin orderi ham 120 ga teng. Demak, 2^{36q}-1 soni 241 ga karrali degani, 36q ning 120 ga bo'linishi lozim degani ekan. Bu esa q ning juftligini beradi, va ziddiyat keladi (aynan 2^4+1=17 ga bo'linib qoladi).
Demak, () tenglikning o'ng tomonini 241 ga bo'linishini ko'rsatish ziddiyatni berar ekan. Xuddi shunday chap tomonini 241 ga karrali ekanligini ko'rsatish yetarli bo'ladi. Yana quadratic reciprocity dan 3 soni mod 241 bo'yicha kvadratik qoldiqligini olamiz va 3^{120}-1 soni 241 ga karrali ekan. Agar 72p ning 120 ga bo'linishi ko'rsatsak, masala yechiladi, ya'ni p ning 5 ga bo'linishini ko'rsatish yetarli**, ziddiyatga kelamiz.

--------------------
11 ning o'yinga qo'shilishi:
Yuqoridagidan 3^5-1 ni qarash kerak bo'ladi! Yoki 3^{10}-1 ni deyish ham mumkin. Fermadan uning 11 degan bo'luvchisi bor. 3 ning mod 11 bo'yicha kvadratik qoldiq ekanligindan uning orderi 5 ga teng va agar () tenglikning chap tomoni 11 ga bo'linishini ko'rsatsak, p soni 5 ga bo'linib ziddiyatga kelar ekan.
Xuddi shunday, () ning o'ng tomonini 11 ga bo'linishi ko'rsatish ham ziddiyat berib, yechimni tugatadi. 2 ning mod 11 bo'yicha orderi 10 ga teng, bundan 2^{36q}-1 sonining 11 ga bo'linishini ko'rsatish 36q ning 10 ga bo'linishini ko'rsatishga ekvivalentligini olamiz. Boshqacha aytganda, endi q ning 5 ga bo'linishini ko'rsatish ziddiyat hosil qilishga yetarli!

--------------------
41 tub soni va yakunlash:
(**) tenglikning chap tomoni 3^{8}-1 ga karrali, bu ham 3^4+1 ga karrali, bu ham 41 ga karrali. Demak, 2^{36q}-1 soni ham 41 ga bo'linishi kerak!
2 ning mod 41 bo'yicha orderini qidiramiz. Fermadan bu 40 ning bo'luvchisi bo'lishi kerak, quadratic reciprocitydan 2 soni mod 41 bo'yicha kvadratik qoldiqligi keladi, demak 2 ning mod 41 dagi orderi 20 ning bo'luvchisi bo'lishi kerak. 2^{20}-1 soni 41 ga bo'linishi aniq ekan, bu haqida savol yo'q, bundan tashqari order 6 dan katta bo'lishi ham kerak... demak, 2^{10}-1 ni tekshirish yetarli (aslida bizga 10 ham bo'laveradi). Ko'rish mumkin-ki, bu 41 ga bo'linmaydi, lekin 2^{10}+1 bo'linadi. Xullas, 2 ning mod 41 dagi orderi 20 ekan.

Demak, 2^{36q}-1 soni 41 ga karrali bo'lishidan 36q ning 20 ga karrali ekanligi keladi. Bu ham q ning 5 ga bo'linishini bildiradi. ZIDDIYAT!Yechim tugadi.
-------------------------

Olimpiadada ko'rinmas fokuslarni (teshikchalar) bilish kerak...
umumiy algoritmdan tashqariga chiqib, yarmida yechimni hosil qilish uchun!
Lekin, metodlarni o'rganish ham kerak,
hech bo'lmasa yarmigacha borib olish uchun!

P.S. Olimpiadachilar mathlinks ni kuzatinglar!

@geoporism