С новым учебным годом

В прошлом году я преподавал в RSM 5-му и 7-му классам олимпиадную математику. Или как у них говорят, competition mathematics. Очень был рад, что начало сезона у олимпиадников идёт со сдвигом в пару недель относительно стандартной программы. Ну а теперь уже привычка.

Итак, возвращаемся с летних каникул к любимой теме соавтора Матрёшки – клетке. Очевидная шахматная аналогия не всегда помогает в решении задач по примеру сегодняшней.

А если вам вдруг захотелось поупражняться в задачах на клетчатой бумаге, то вот наша коллекция:
– Клеточный отбор (#30)
– Столбец квадратов (#54)
– Баги (#56)
– Дно коробки (#62)
– Робот на шахматной доске (#71)

и другие…

• Прямоугольники на доске 10х10
• Решение

Teletype

Прямоугольники на доске 10х10 (#142)

Можно ли доску размером 10х10 покрыть без наложения прямоугольниками 4х1

​​Задача Бернулли-Эйлера о перепутанных письмах

Классическая задача Бернулли-Эйлера формулируется следующим образом.

Формулировка (№141)
Некто написал шесть писем шести различным людям и заготовил шесть конвертов с их адресами. Сколькими способами можно вложить письма в конверты, чтобы ни одно письмо не попало тому лицу, которому оно адресовано?

В качестве реверанса к предыдущему посту проинтерпретируем эту задачу в шахматных терминах: ладья на i-й вертикали и j-й горизонтали будет соответствовать i-му письму, упакованному в j-й конверт. С учётом этого получаем

Эквивалентную формулировку
Сколькими способами на доске 6х6 можно расставить 6 ладей так, чтобы они не били друг друга и не стояли на главной диагонали?

Альтернативная формулировка создаёт новый контекст с сопуствующим инструментарием. Поэтому возможно кому-то будет удобнее решать эту задачу в шахматных терминах.

#олимпиада #классическаязадача

• Решение

​​Шахматные задачи

Кроме математики мы также любим шахматы. Сегодня открывается турнир претендентов (и претенденток), который пройдёт в Торонто с 3 по 23 апреля. Победитель турнира сыграет матч за титул с действующим чемпионом мира по шахматам Дин Лижэнем. По этому поводу предлагаем вам решить авторскую задачу. Попутно также отметим, что шахматные задачи можно разделить на два типа:

– собственно шахматные, использующие полный набор правил и тренирующие навыки игры (например, как сегодняшняя)
– математические / логические, использующие некоторую шахматную механику, но решения которых лежат вне плоскости игры (например, как эта)

#шахматы #авторская

Условие (№140)
Какое максимальное количество ферзей можно получить на шахматной доске, играя по правилам? Какое максимальное количество фигур может присутствовать на доске в этот момент?

• Решение

Вы думаете, что на собеседованиях при приёме на работу в крупную компанию задают только вопросы, требующие специальных знаний? Это не всегда так). Вот задачка для младших классов, с которой справились далеко не все кандидаты:

Три охотника сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй — одну, третий — ни одной, но он расплатился семью патронами. Как должны поделить патроны первые два охотника, если все ели поровну?

Иногда сложно придумать решение задачи. А насколько сложно придумать саму задачу? Мы в Матрёшке осилили этот вызов несколько раз. Зафиксировали своё достижение здесь и здесь.

На неделе через общего коллегу познакомился с Михаилом Евдокимовым – задачным композитором. Михаил сочиняет задачи для школьных математических олимпиад разного уровня: Московская Олимпиада Школьников, Турнир Городов, Матпраздник, Всерос.

Так как Михаил работал в различных компаниях, то у него собралась небольшая коллекция задач с собеседований, которые он начал публиковать на канале @kvantland. Далее следует репост.

Игры на клетчатой бумаге

Клетка – неисчерпаемый источник задач, игр и головоломок. В дополнение к раз и два представляем ещё одну игру с симпатичным решением. Примечательно, что во всех упомянутых сейчас задачах применяются совершенно разные стратегии выигрыша.

#олимпиада #игра

• Игра в квадрат
• Решение

Telegraph

Игра в квадрат (#139)

На клетчатой доске 4х4 играют двое. Ходят по очереди, и каждый играющий своим ходом закрашивает одну клетку. Проигрывает тот, после чьего хода образуется квадрат 2х2, состоящий из закрашенных клеток. Кто выигрывает при правильной игре? Сложность: 3/10 Решение…

Родственные задачи
Пополняем коллекцию логистических задач. Вообще есть гипотеза, что сегодняшняя задача и задачи из наших предыдущих постов:

– Королева бензоколонки (про кольцевую автодорогу)
– 50 байкеров (про максимальное расстояние на фиксированном количестве топлива)
– Перевозка СПГ (про максимальное количество доставленного груза)

эквивалентны. А именно, что есть некая общая постановка, к которой можно подогнать все задачи этого цикла. Было бы интересно в этом разобраться.

• Кругосветка
• Решение

Telegraph

Кругосветка (#138)

На острове есть аэропорт, в котором находится неограниченное количество одинаковых самолетов. При полной заправке самолёт может пролететь ровно половину пути вокруг света по большому кругу. Самолёты имеют возможность идеальной дозаправки в полёте без потери…

Целое и дробное
Целой частью числа x называется максимальное целое число, не превосходящее x. Обычно целую часть числа обозначают квадратными скобками, например, [-√2] = -2. Дробной частью числа x называется число x - [x], то есть то, что остаётся от числа x после вычитания из него целой части. Обозначается фигурными скобками {x} = x - [x].

Если длина стороны квадрата равна x, то длина диагонали равна x√2. Если длина стороны куба равна x, то длина диагонали равна x√3. Если же длина стороны d-мерного куба равна x, то длина его диагонали равна x√d. Такова увертюра к сегодняшней задаче.

• Про дробную часть диагонали
• Решение

Telegraph

Про дробную часть диагонали (#137)

Доказать, что при всех натуральных n выполняется неравенство Сложность: 4/10 Решение Telegram

С Новым годом 2024

Лучше всего, конечно, пять звёздочек!
Фильм «Карнавальная ночь»
Дорогие друзья! Внезапно оказалось, что это уже 7-й по счёту Новый год, который мы встречаем вместе с вами. Мы, два математика и два иллюстратора, делимся с вами красивыми задачами, всегда авторскими решениями и в классном оформлении. Вся эта кипучая деятельность держится в основном на одном – вашем интересе. Поэтому большое СПАСИБО за то, что вы с нами.

Пусть новый год принесёт вам очень много радости и счастья! А чтобы дополнить праздничный антураж – с нас задача!

• Разноцветное пространство
• Решение

Telegraph

Разноцветное пространство (#136)

Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причём в каждый цвет окрашена по крайней мере одна точка. Докажите, что найдётся плоскость, все точки которой окрашены не менее чем в четыре цвета. Сложность: 4/10 Решение Telegram

Отраслевая адаптация

Исходная версия задачи формулируется для верблюдов и бананов. Суть в том, что верблюд может в качестве источника энергии использовать полезный груз, которые ему надо перенести. Понятно, чем больше расстояние, тем меньше он сможет доставить. Единственная (!) современная промышленная аналогия данному феномену – перевозка сжиженного природного газа (СПГ). Я не знаю другого энергоносителя, который использовался бы подобным образом. Нет ведь бензовоза, который бы сливал горючее из цистерны в топливный бак. Есть перспектива у морских перевозок аммиака и водорода, но пока всё ограничивается единичными экспериментами.

Оригинал – достаточно распространённая задача на #интервью, поэтому даже не буду перечислять компании. А в авторских обвесах брейнтизер подойдёт для нефтегазовой сферы.

У меня ещё одна задача припасена про перевалку СПГ, так что скоро вы опять пострадаете от моей профдеформации.

• Перевозка СПГ
• Решение

Telegraph

Перевозка СПГ (#135)

Необходимо перевезти сжиженный природный газ (СПГ) от завода до терминала, находящимися на расстоянии 1 000 миль друг от друга. Изначально в заводских хранилищах находится 3 000 тонн СПГ. В распоряжении у перевозчика есть всего одно судно-газовоз вместимостью…