I.F. Sharigin nomidagi XXI geometriya olimpiadasining sirtqi tur masalalari

O`zbek tilida

Tarjimasi muammo bo`lgan 23-masala asl holicha qoldirildi.

@el_mat

#comments_geoporism

Boshqa masalalariga izohlar (bu bir qarashdagi qoralamalar, orasida xatolar bo'lishi mumkin):

P1. Bitta tangani olib tekshirib ketaveramiz.

a tangani oldingiz. Albatta a ni bilmaymiz. Qolgan tangalarni barchasini a bilan solishtirib ketaverasiz. Misol uchun b tangani a bilan qo'ysangiz, ovoz chiqarsa ushbu tangi chetga olib turing. Qolgan ovoz chiqarmaydiganlari barbir sizga a dan farqini aytadi va yana qanchaga ko'p yoki qanchaga kamligini aytadi. Demak, a ni stolga qo'yasiz va farqiga qarab tangalarni a ning o'nggiga yoki chapiga joylashtirib ketaverasiz. Jami 2023 ta o'lchash bo'ladi shunda. Oxirida qolgan ikkita ovoz chiqargan tangani alohida qaraysiz. Ular aniq ovoz chiqarmaydi va farqiga qarab a tangani ikkita qo'shnisi bo'lib joylashadi.

P2. https://t.me/geoporism/233

P3. Faraz qilaylik, kamida 2 ta turli son bor. Maximumni M bilan minimumni m bilan belgilaymiz (M>m). Qolgan barcha sonlar m va M orasiga joylashadi. Eng kichik 10 tasini bitta guruhga, o'rtadagi 10 tasini ikkinchi guruhga, eng katta 10 tasini yana bitta guruhga oling. Ikkita chekkadagi guruhdagi sonlar yig'indisi teng bo'la olmaydi. Demak, o'rtadagi to'plam ikkita chekkilarning bittasiga teng. Bu degani 20 ta teng son bor kamida. Birinchi yigirmatalikni teng deb faraz qilaylik; aytaylik 0 lardan iborat (WLOG).

20 ta 0 dan keying nomanfiy a1, a2, ...,a10 sonlar joylashgan (a10 qat'iy musbat). Birinchi 10 talik 0 bo'lib qoladi. Ikkinchiga a(i) larni o'tkazib, bittadan 0 ni buyoqqa olib boraverasiz. Shunda ketma-ket quyidagilar keladi: a1=0, a2=0, a3=0, a4=0, a5=0, ... oxirini tugating.

------------------------------

Edit: 3-masalada sharti 10 tadan 3 ta guruhga deb tushungan holda yozilgan. Masalaning o'zida 3 tadan 10 ta guruhga deyilgan ekan. Ushbu argumentni davom ettirib ko'ring.

Faraz qilaylik, kamida 10 ta turli son bor: x1<...<x10. Qolgan sonlarni qanday bo'lishidan qat'iy nazar o'sish (kamaymaydigan) tartibida yozamiz.

(x_1, _ , _), (x_2, _ , _), ... , (x10, _ , _) uchliklardagi sonlar yig'indisi qat'iy o'sish tartibida. Demak, 10 ta turli son bo'la olmaydi. 9 taga misol yuqoridagi misolga o'xshab quriladi.

P4. Ochig'i yuqoridagi ikkita kombinatorikada deyarli hech nima qo'llamadik. Bunisi ozgina metodga aloqasi bor, kamida bunaqa masalalarga qanday yondashishni o'rgatish mumkin.

Masala falsafiyroq ham: Markov chain xususiyatiga ega, ya'ni kelajak faqat hozirga bog'liq, o'tmishga emas.
Matematik olimpiadalarda buni sodda induksiya, ya'ni hozirgi qadam bilan keyingi qadamni farqlash yetarli deyish mumkin. Bunga doir greedy algoritmlar ham bor. Ya'ni, lokal qarab, eng yaxshi qadamni bosamiz, global xususiyatlar bizni qiziqtirmaydi.

Gapni po'st kallasi: n ta to'g'ri to'rtbuchakka bo'lishlar orasida eng katta perimetr P(n) bo'lsin. Ko'rsating: P(n+1) har doim P(n)+1 dan katta bo'la olmaydi (oxirgi kesmamiz uzunligi 1 dan oshmaydi barbir).

Demak, P(2024)=< P(1)+2023 va P(1) ni topish yetarli.

P5. Nimaga (p+1)/2 ?

p toq sonning barcha bo'luvchilari 1 dan (p-1)/2 gacha yotadi. Shular bilan birga p ni qarasak, ushbu (p+1)/2 talikda p ni tub ekanligini ko'rish mumkin. Bu (b) qismning yechimi.

(a) qism asosan p tub sonning kvadratik qoldiqlari aniq (p-1)/2 taligi bilan bog'liq (0 dan farqli kvadratik qoldiqlari). Agar berilgan sonlar orasida birorta ham p ga karralisi bo'lmasa, demak ularning kvadratlarini p ga bo'lganda (p-1)/2 xil qoldiq chiqishi kerak. Dirixli prinsipiga ko'ra ikkita tenggi bor. Buyog'ini davom ettiring.

Agar sonlar orasida p ga karralisi bo'lsa-chi? U holda oldin sonlarni barchasini umumiy EKUBini 1 deb faraz qiling ((p+1)/2 ta sonning EKUBi qaralmoqda). Barchasi bir xil songa bo'linsa, uni qisqartirib qo'yaverasiz, jarayonga ta'sir qilmaydi. Xullas, p ga karrali va karrali bo'lmagan son bor bo'lib qoladi. Ikkalasini tanlang.

@geoporism

2024-yil viloyat bosqichi 9-sinf test savollari
@olimpiada_mathlinks

Olimpiada testlari,  olimpiada bilan shug'ulanayotganlar uchun.
@olimpiada_mathlinks

Turk olimpiada testlari ( olimpiada testlar so‘raganlar uchun)

@olimpiada_mathlinks