Часто задаваемый вопрос: почему мы (Рома, Джи Ву ну и как следствие я) изучаем гомотопические группы двумерной сферы, а не стабильные, как это делают все нормальные люди?

Ответ 1 (конструкция Милнора): потому что вычислять в конструкции Милнора от окружности F[S^1] гораздо проще. Напомню, что конструкция Милнора — эквивалентна петлям над надстройкой и поэтому её гомотопические группы — это как раз гомотопические группы сферы.

Это связано с тем, что симплициальная окружность S^1 — это очень простое симплициальное множество. Множество n-симплексов состоит из n+1 симплекса, один из которых выделенная точка.
S^1_n={, x_0, ... ,x_{n-1} }
и дифференциалы действуют очень тупо:
d_0(x_0)=
d_j(x_i)=x_{i-1} при j ≤ i ≠ 0
d_j(x_i)=x_i при j > i ≠ n-1
d_n(x_{n-1})=*

Ответ 2 (спектралка): потому что в нестабильной спектральной последовательности Адамса мы видим некоторые особые паттерны, которые работают только для трехмерной сферы.

Ответ 3 (философский про плюс-конструкцию): все любят говорить, что стабильные гомотопические группы сфер — это гомотопические группы плюс-конструкции Квиллена классифицирующего пространства бесконечной симметрической группы (Barratt-Priddy-(Quillen-Segal) theorem). Но если заменить бесконечную симметрическую группу на бесконечную группу кос, то получатся как раз гомотопические группы двумерной сферы (Cohen, Segal).

К предыдущему посту:

Рома М. о Гротендике

привет, ну не Грахам Эллис, Грахам меня немногим старше. Ларри Брин много рассказывал, он был одним из его учеников, с которыми он продолжал общаться в 70-е. Бауэс с ним переписывался несколько лет, Ронни к нему ездил, Пасси с ним общался в Мумбаи в конце 60-х. Да, у меня немало было общих с ним приятелей. сейчас что-нибудь расскажу, чтобы не сгинули истории.

Ну вот, к примеру. Ларри к нему приезжал обычно на несколько дней, останавливался в его доме, они днями обсуждали йогу n-категорий (в сети есть письма Гротендика Ларри об этом), всякие стеки и жербы. Гротендик любил готовить всякие экзотические блюда, он угощал Ларри. Это все было в деревне на юге Франции, и Гротендик к тому времени переругался уже со всеми жителями этой деревни, кроме 15-летней девушки. Девушка к нему часто заходила, они с ней общались. Она слышала, что Гротендик – математик, это был как слух по району такой, типа этот странный чел – математик. Девушка ходила в школу, ей там задали какое-то задание по математике, она пришла к Гротендику, чтобы тот помог. Как раз это было при Ларри. Гротендик сел и принялся ей объяснять школьную математику. Детально-детально. Ларри рассказывал, что слушал и не видел разницы по интонациям и отдаче, как Гротендик общается: с Делинем например или с этой девушкой. Все детально, корректно, четко. Она кивала, и не представляла, кто ей сейчас все это рассказывает. Блин, перед тобой, возможно, лучший математик современности... но тогда было все равно, чисто странный чел долго и подробно пояснял, как делается домашнее задание. Мы с Ларри проработали лет восемь, он приезжал ко мне много раз, а я к нему в Париж, и он часто рассказывал что-то такое.

Например вот. Когда Гротендик жил на юге Парижа, у него одна комната не отапливалась, там был реально холодно, и именно в ней он занимался математикой.

Симплициальные вещи (3.3/?.4)

Формула для произведения Уайтхеда

В этом посте я писал, что функтор петельного пространства Ω: sSet_red -> sGrp задает квилленовскую эквивалентность между приведенными симплициальными множествами (где единственный 0-симплекс) и симплициальными группами. Сейчас расскажу, как он работает. n-симплексы там это свободная группа, натянутая на n+1-симплексы, в которой стянули все 0-вырождения n-симплексов

(ΩX)_n = <X_{n+1} | s_0(x) = 1 для любого x \in X_n>
d_0^Ω(x) = d_1(x) * d_0(x)^{\-1}
d_i^Ω(x) = d_{i+1}(x) при i > 0
s_i^Ω(x) = s_{i+1}(x)

Если X это приведенный комплекс Кана, то можно задать изоморфизм δ: π_n(X) -> π_{n-1}(ΩX) по формуле δ([x]) = [x], где x \in X_n, такой что d_i(x) = * для всех i (см. комментарии для пояснения)

Теперь можно выразить скобку Уайтхеда [-, -]: π_{p+1}(X) x π_{q+1}(X) -> π_{p+q+1}(X) через произведение Самельсона следующим образом:

[x, y] = (-1)^p δ^{-1} <δx, δy>

Симплициальные вещи (3.2/?.4)

Произведение Самельсона для симплициальных групп

Если G симплициальная группа, то можно описать произведение Самельсона π_p(G) x π_q(G) -> π_{p+q}(G) следующим образом

Для набора индексов a = (a_1 < ... < a_k) определим s_a как итерированное применение k вырождений s_{a_i} по формуле s_a(x) = s_{a_k}(...s_{a_1}(x)...)

Далее, если у меня есть элементы x \in G_p и y \in G_q, то нужно настакать q вырождений к x и p вырождений к y, чтобы попасть в G_{p+q}

Рассмотрим (p+q)-элементное множество {0, 1, ..., p+q-1}. Его (p, q)-смешиванием называется перестановка (a_1, ..., a_p, b_1, ..., b_q), для которой a_1 < ... < a_p и b_1 < ... < b_q

Давайте обозначим через \in G_{p+q} произведение коммутаторов [s_b(x), s_a(y)]^\pm, где произведение берется по всем (p, q)-смешиваниям (a, b), которые упорядочены по a в правом лексикографическом порядке*, а знак в степени = знак перестановки

(если мы определили левую часть 'a' в (p, q)-смешивании, то 'b' восстанавливается автоматически, поэтому сортить можно по a только)

() "правом лексикографическом" — так пишет Джи Ву в этой работе. Кёртис в Симплициальной теории гомотопий пишет, что это антилексикографический* порядок, который определяется на странице 197, там фигурирует четность последней a-шки — см. скрин в комментах

Далее можно заметить, что эта операция спускается на гомотопические группы. Действительно, гомотопические группы у симплициальной группы можно посчитать как гомологии комплекса Мура (цепи = пересечение ядер d_i для i > 0, дифференциал = d_0). Можно сузить произведение Самельсона, которое мы определили, на циклы Мура (пересечение всех ядер граней). Симплициальные тождества говорят нам, что d_i s_a = s_a' d_i', если ни i, ни i+1 не встречается в a, и = s_a'' иначе. Поэтому если x и y циклы, то есть d_i x = 1 и d_i y = 1 для всех i, то d_i = 1

По всей видимости, это можно увидеть так: d_i убьет все коммутаторы, где либо a свободно от {i, i+1}, либо b свободно от {i, i+1}, то есть останутся только коммутаторы, где в [a входит i, в b входит i+1], и где [в a входит i+1, в b входит i], но такие коммутаторы после удаления лишнего стоят все рядышком по парам с разными знаками

Далее, если x = d_0(x'), y = d_0(y'), то = d_0 , то есть границы сохраняются, и поэтому операция корректно спускается на гомотопические классы (win!)

(Не)четные функции и их производные (2/2) Ну, если g = 0 в окрестности точки x, то (по четности) g = 0 и в окрестности точки -x, и тогда производные в x и -x также равны нулю, откуда достаем необходимую нечетность производной. В противном случае найдется…