🥹 Окружность Аполлония 🥹 [На∂я]

Задача. Флибустьеры с острова Ямайка узнали, что на якоре перед Пуэрто-Бельо стоит испанский галеон, груженный золотом. Как только закончится шторм, галеон выйдет в Карибское море и возьмет курс на пролив между островам Гаити и Пуэрто-Рико.
Флибустьеры также ждут конца шторма, поэтому выйти из Кингстона они могут только одновременно с испанцами. Какой курс следует выбрать флибустьерам, чтобы наверняка перехватить испанцев?

Решение. Предположим, что флибустьеры знают, во сколько раз скорость их корабля больше скорости галеона (пусть в k > 1 раз), тогда они могут найти все точки, в которые их корабль и галеон могут попасть одновременно. Отношение пройденных расстояний также равно k. Обозначим за точку А — Пуэрто-Бельо, а за точку В — Кингстон. Таким образом, все возможные точки встречи лежат на геометрическом месте точек М таких, что BM/AM = k. Обратите внимание на рисунок в комментариях.

Таким ГМТ является окружность, которую называют окружностью Аполлония. Этот факт можно доказать двумя методами: геометрическим (используя свойства биссектрис) и координатным (с его помощью можно явно выписать уравнение окружности, что является безусловным плюсом).

Начертив окружность, мы видим, что курс галеона пересекает её в двух точках, поэтому флибустьеры могут перехватить галеон в любой из них (если на пути не встретятся другие пираты). Однако логичнее выбрать точку, которая ближе к Пуэрто-Бельо. 👍

#Контент #Математика #Вышмат

🫡 Про первую сессию 🫡 [Ан∂рей]

Вспоминаю про свою первую сессию — сплошное разочарование. В школе казалось, что понимаю математику, много знаю, а к концу первого семестра всё встаёт на свои места (и то, что было 11 лет в школе записано на первых 10 страницах учебника, остальные 390 страниц — надо сдавать на экзамене)...

После школьной пятёрки по математике, сдал сессию с тройкой по комбинаторике. Да и по остальным предметам казалось, что повезло. Писал зачёты без понимания, шёл на экзамены с зазубренными определениями и формулировками. 😔

В такие моменты уже становится не так интересно, перестаёшь видеть красоту. И начинаешь сомневаться в правильности пути.

Думаю, с подобным кризисом сталкивается каждый студент. Но и в этот момент нужно взять себя в руки, перевернуть ситуацию с головы на ноги и извлечь максимальную пользу. Ведь одна из основных задач — находить выходить из трудного положения.

Объём информации и степень неопределённости будут только расти. Нужно принять это и двигаться вперёд. И со временем новые термины не будут пугать, доказательства на пару страниц покажутся очевидными, вернётся и вкус к математике.

А для зачёта лишь бы методичка была — ща докурим и пойдём сдавать! 😎

P.S. На вопрос "Возможно ли всё выучить и понять к экзамену?" я бы ответил: "Нет, но это не значит, что не получится его сдать!" Поэтому продолжаем ботать, результат не заставит себя ждать, вот увидите! 🍀

#Мысли #Вышмат #Математика

☠️ Про долги ☠️ [Ан∂рей]

2 контрольные переписывать, 100 вопросов на экзамене — и так по 4 дисциплинам сразу. Всё это ложится на плечи обычного студента-работяги (хотя ощущается, что именно твои дела хуже остальных).

И голову начинают сверлить мысли о том, что лучше перенести долги на следующий семестр. В январе и феврале хорошенько заботать, а потом всё закрыть. Вот только заканчиваются такие истории далеко не всегда хорошо...

⚠️ От тех, кто сейчас на 2 курсе, я часто слышу: "Спасибо, что убедил идти на экзамены. Пусть и не отл (не хор), но закрыто. Ведь в новом семестре информации ещё больше". И это правда. Нет времени сейчас, не будет и дальше. Вот только ещё добавятся пересдачи. 🫣

Поэтому наша задача — бороться до конца!
🟠Приходить на все контрольные, зачёты и экзамены, не пропускать переписывания.
🟠Сдать все долги, домашки, проекты (будь то матеша или прога).
🟠Всеми силами стараться закрыться без хвостов.

Про себя в первом семестре расскажу в следующем посте!

#Контент #Мысли #Вышмат #Математика

🦊 Немного о жизни 🦊 [Ан∂рей]

В последнее время веду достаточно много уроков по различным дисциплинам. Особенно порадовало, что было много уроков по векторному анализу и теории поля.

Когда учился на втором-третьем курсе, кратные, поверхностные интегралы и элементы теории поля выпали на дистанционку. Приходилось разбираться самостоятельно. Оставалось много пробелов.

Спустя 4 года удалось хорошо разобраться, увидеть в этом красоту.

Многие темы во время учёбы приходится откладывать на неопределённый срок. Нет ничего приятнее, чем во всём разобраться! 🫶

Из новых дисциплин, по которым теперь веду уроки:
🟠Аналитическая теория чисел
🟠Теория графов
🟠Исследование операций (экстремальные задачи, оптимизация, математическое программирование)

Много работы, поэтому посты стал писать чуть реже, но сейчас возобновляю это дело. Ведь сессия — время подводить итоги. 👨‍💻

P.S. Если нужна помощь при подготовке к зачётам и экзаменам, лучше писать заранее @lav_100k.

#Жизнь #Контент #Вышмат #Математика

🤔Подготовка к зачёту🤔 [Ан∂рей]

Поговорим чуть более подробно про подготовку к зачёту. В большинстве университетов он представляет из себя переписывание всех контрольных, которые не получились за семестр (у кого-то это работа целиком, а у кого-то лишь некоторые задачки). 🫠

🟠. До начала зачётной недели нужно постараться закрыть максимальное число задач. Возможно, в первую очередь простые. Ведь 7 простых из 10 задач звучит солиднее, чем 3 сложных из 10 задач.

🟠. Узнать, что требуется сделать. Зачёт в первую очередь нужен студенту, поэтому наша задача узнать у преподавателя, какие есть долги, как их отработать. Стремление получить зачёт будет замечено.

🟠. Жёстко ботать. Когда план намечен, а всё, что было легко, уже сдано, нужно готовиться. Не стоит надеяться на халяву, руку на задачах стоит набить. Нет ничего приятнее, чем получить задачи и по одному виду понять, что их уже умеешь решать. 🧡

#Контент #Мысли #Учёба

↩️ Фигуры Лиссажу ↩️ [На∂я]

Фигуры Лиссажу — траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Давайте представим такую ситуацию: вы находитесь на даче, где к тополю привязали покрышку на канате, и теперь это любимое место всех детей. Пусть сбоку эту покрышку раскачивает один человек, а сзади — другой. В итоге получается, что движение осуществляется в двух направлениях «вперёд-назад» и «вправо-влево». Если бы мы могли наблюдать долгое время за тенью, то увидели бы фигуру Лиссажу (в идеальных условиях). 

⚡️Зависимость координат x и y от времени t описывается системой:

{ x(t) = A * sin (at + δ),
  y(t) = B * sin (bt) },

где A, B — амплитуды колебаний,a, b — частоты, δ — сдвиг фаз.

Вид траектории очень зависит от соотношения между a и b. Если a/b — рациональное число, то фигура Лиссажу будет замкнутой.

Посмотреть на красивые картинки и поиграться с параметрами можно в калькуляторе Desmos по ссылке. 🙂

#Контент #Математика #Вышмат

🤯 Как всё успеть? 🤯  [Ан∂рей]

Начался последний месяц в этом году. Объём информации продолжает расти. А из-за переписывания контрольных начинает ощущаться сильное отставание по лекциям. Что делать?

🟠. Грамотно расставить приоритеты. Экзамены будут в январе (в большинстве университетов), а зачёты уже через пару недель. Стоит уделить особое внимание практикам, чтобы она была закрыта.

Не думайте о переносе долгов на доп. сессию. Это ловушка. Начнётся новый семестр, где объём новой информации будет ещё больше, а сложность выше. Пересдачи будут тянуть назад. Цель — закрыть всё по максимуму сразу.

🟠. Учить определения и формулировки. Это не так трудно. Каждый день повторять всё основное без доказательств. Данная процедура позволит привыкнуть к языку. И в будущем доказательства будет проще понять.

🟠. Не думать о переводе, академе. Готовиться и сдавать нужно так, будто не будет отходных путей. Переводиться с долгами тяжелее, может не получиться. Тогда тяжелым грузом лягут пересдачи.

🟠. Просто делать. Хотя бы маленький шаг, но постоянно. Старание и трудолюбие будут оценены по заслугам! А понимание происходящего придёт чуть позже. 🧡

#Контент #Вышмат #Математика

⭐️ Обобщённая формула Пика ⭐️ [На∂я]

Для вычисления площади многоугольника с целочисленными вершинами применяют в основном два способа.

🟠. Можно достраивать или наоборот разбивать на более простые фигуры, считать их площади, а затем с помощью арифметических действий получить площадь исходного многоугольника.

🟠. Использовать формулу Пика:

S = В + Г/2 \- 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Оказывается, у формулы Пика существует обобщение. С её помощью можно вычислить площадь многоугольника с «дырками»:

S = В + Г/2 + Д \- 1,

где В и Г — количество целочисленных точек внутри и на границе многоугольника соотвественно, а Д – количество многоугольников внутри. ⭐️

Доказывается данная формула по индукции по количеству вершин многоугольника. Сначала (по обычной формуле Пика) рассчитывается площадь многоугольника без "дырок". Затем находятся площади "дырок" (по всё той же стандартной формуле Пика). Используя полученные результаты, остаётся лишь показать, что индукционный переход выполнен.

P.S. Чтобы было легче понять, как работает формула, обратите внимание на картинку.

#Контент #Математика #Вышмат

😈 Дифференциальное исчисление и формула Тейлора! 😈 [Ан∂рей] (Запись: @lav_math_bot) Продолжаем серию групповых уроков. На повестке дня дифференциальное исчисление и формула Тейлора. 28, 29, 30 ноября и 1, 2 декабря 19:30-21:00 состоятся занятия по темам:…

🤔 Парадокс Рассела 🤔 [На∂я]

Назовём множество обычным в том случае, если оно не является элементом самого себя.

Необычным множеством назовем такое множество, которое само является собственным элементом. В качестве примера Рассел приводит множество всех множеств.

А теперь давайте попробуем рассмотреть множество всех обычных множеств, которое имеет название расселовское, и ответить на вопрос, является ли оно обычным. Здесь как раз и возникает парадокс, есть два варианта:

🟠. Предположим, что расселовское множество является обычным. Если оно обычное, то должно включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит из всех обычных множеств. Но в то же время, оно не может быть обычным, так как включает самого себя.

🟠. Предположим, что расселовское множество является необычным. Так как по определению это множество должно состоять только из обычных множеств, то оно не может включать себя в качестве элемента. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это обычное множество.

В обоих случаях получили противоречие. В завершение поста приведём забавную бытовую формулировку этого парадокса:

Пусть в некотором городе живет брадобрей, который бреет всех жителей, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей самого себя? ❓

#Контент #Вышмат #Математика