Теорема Наполеона: Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний.

Есть и романтические истории (как минимум, одна), связанные с «Дамским дневником». Одним из регулярных авторов журнала был некий Роберт Ричардсон. А мисс Элизабет Смейлс писала для журнала задачи в стихах. Ричардсон был очарован остроумием Элизабет, написал ей восхищённое письмо, завязалась переписка, и через непродолжительное время они поженились. Одна из их дочерей, Шарлотта Каролина Ричардсон, впоследствии стала поэтессой, одно из её стихотворений посвящено знакомству родителей, которому способствовал «Дамский дневник». Самое удивительно, что не только родители Шарлотты соединились благодаря журналу, но и воссоединение Шарлотты с матерью тоже произошло благодаря альманаху. Когда Шарлотте было восемь лет, её отец скончался, и мать отправила младшую из дочерей (как раз Шарлотту) на время к тётке на север Англии. Тётка почему-то решила девочку назад матери не возвращать, и Шарлотта прожила с ней больше десяти лет. В попытке соединиться с семьёй девушка отправила в «Дамский дневник» стихотворение, совершенно ясным образом обращённое к матери. На следующий год мать ответила (тоже в журнале и тоже в стихах), и семья благополучно воссоединилась.

Хотя «Дамский дневник», самое популярное из математических периодических изданий, призывал женщин «соединить остроумие и красоту», он привлекал серьезных любителей математики обоих полов. В 1822 году (почти за 20 лет до конца издания альманаха) математический приз журнала выиграл Уэсли Стокер Баркер Вулхаус, которому на тот момент было тринадцать лет. Вулхаус вырос, стал актуарием (специалистом по страховой математике), при этом он имел разнообразнейшие интересы в области теории музыки, проектирования паровозов, измерений и многих других областей, причём во всех этих областях он публиковал книги. Например, его перу принадлежит книга «Очерки музыкальных интервалов, гармоник и темперамента музыкальной гаммы», в которой продвигается 19-тоновая темперация, предполагающая (для измерения музыкальных интервалов) деление октавы на 730 частей, сейчас называемых единицами Вулхауса. Кроме того, ему приписывается формула численного интегрирования (или квадратуры), один из методов вычисления приближённого значения определённого интеграла.

Так вот, этот самый Уэсли Стокер Баркер Вулхаус в 1841 году (когда «Дамский дневник» перестал публиковаться) стал редактором «Дневника леди и джентльмена» — развлекательного математического журнала, пришедшего на смену одновременно и «Дамскому дневнику», и «Дневнику джентльмена». Этот новый журнал издавался ежегодно в период с 1841 по 1871 год. Примечательно, что именно в «Дневнике леди и джентльмена» была опубликована задача о школьницах (предложенная Томасом Киркманом), решение которой вдохновило Киркмана на публикацию своей первой математической работы, положившей начало математической теории комбинаторных схем.

Вот эта задача: Пятнадцать молодых девушек в школе прогуливаются по три в ряд семь дней (каждый день), требуется распределить их на каждую прогулку так, чтобы никакие две девушки не шли в том же ряду.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ДЛЯ ПРЕКРАСНЫХ ДАМ

Журнал «Дамский дневник, или женский альманах» выходил ежегодно в Лондоне с 1704 по 1841 год (то есть в течение 137 лет без перерыва).

Слово «альманах» в буквальном переводе с арабского означает «астрономический календарь». Поэтому первые альманахи выполняли именно функции календарей. Не был исключением и «Дамский дневник»: он содержал материалы, относящиеся к календарям, включая время восхода и захода солнца и фазы луны, а также важные даты (затмения, праздники, начало и окончание школьного семестра и т. д.), а также хронологию примечательных событий.

У названия альманаха всегда присутствовал подзаголовок, который указывал на его серьезные цели: «Содержит новые достижения в искусстве и науках, а также множество занимательных подробностей: предназначено для увеселения и развлечения представительниц прекрасного пола». К средствам развлечения относились так называемые загадки (enigmata): головоломки, шарады, научные вопросы и математические вопросы. Типичный выпуск этой серии включал ответы читателей на загадки, сформулированные в прошлом году, и набор новых задач, почти все из которых были предложены самими читателями. И загадка, и ответ (обнародованные в следующем году) часто представлялись в стихах. На каждой обложке было изображение выдающейся англичанки.

Иногда подзаголовок очередного выпуска был ещё более конкретным. Например, в 1836 году полное название было таким: «Женский дневник, 1835 год от Рождества Христова, третий после бисекстиля (високосного года – tbp). Создано специально для увеселения и развлечения представительниц прекрасного пола с приложением любопытных и ценных математических работ для учащихся. Сто тридцать второй издаваемый альманах такого рода. Также и «Дневник джентльмена, или математический репозиторий»; альманах на 1835 и 1836 годы Господа нашего, являющегося третьим, бисекстильным или високосным годом, содержащий множество полезных и занимательных подробностей, специально адаптированных для изобретательного джентльмена, находящего занимательным изучение и практику математики».

Первый редактор и издатель Джон Типпер начинал первые выпуски альманаха с публикации календаря, рецептов, медицинских советов, рассказов и заканчивал «специальными рифмованными загадками». К выпуску 1709 года содержание было изменено: рецепты, медицинские советы и рассказы исключены, а головоломок, наоборот, стало больше: как от самого Типпера, так и от читателей. Второй редактор, Генри Бейтон, взял на себя руководство альманахом после смерти Типпера в 1713 году. Он продолжал публиковать альманах с множеством головоломок, а в 1720 году начал включать в него более сложные головоломки, связанные с ньютоновским исчислением бесконечно малых.

На страницах «Дамского дневника» были опубликованы (и затем решены) проблемы, которые впоследствии стали известными (и не очень известными) теоремами. Теорема Наполеона (приписываемая, как легко понять, Наполеону Бонапарту) была предложена в качестве задачи в 1825 году, её аналитическое и геометрическое доказательства были опубликованы в 1826 году.

С ДНЁМ ЧИСЛА π!

Математик Алек Эйткен (Alec Aitken) обладал феноменальной памятью. В числе прочего, он мог назвать по памяти 1000 знаков числа π. Способности Эйткена привлекли внимание психологов, которые записали и прокомментировали несколько интервью, в которых они фиксировали способности Эйткена.

Вот как описан эпизод, связанный с числом π:

“Алек сидит расслабленный и спокойный и уверенно и безошибочно произносит первые 500 знаков. После этого он делает паузу, чтобы перевести дыхание. Всё это занимает 150 секунд. Речь ритмичная, темп составляет ровно пять знаков в секунду, потом пауза примерно полсекунды, он говорит почти механически. На цитирование каждого блока из пятидесяти символов у него уходит ровно 15 секунд.”

После этого Эйткен безошибочно назвал следующие 500 знаков числа π. Но здесь комментатор пишет, что Эйткен иногда мешкал и даже исправлялся. Когда его спросили, почему вторые 500 знаков дались ему сложнее первых, Эйткен дал интересный ответ. Он сказал, что частично это было связано с усталостью, потому что такое воспроизведение требует больших усилий. Но более занимательной является другая причина, которую он привёл:

“До появления вычислительных машин некоторые математики соревновались в количестве знаков числа π, которые они могли вычислить (конечно, вручную). В 1873 Шэнкс вычислил число π до 707-го знака, но в 1948 году было обнаружено, что он ошибся в вычислении 528-го знака, и поэтому последние 180 знаков из его вычислений были неверными. Но в 1927 году я заучил эти 707 знаков для выступления на студенческом мероприятии, и, конечно, был очень удручён, когда в 1948 году обнаружил, что я выучил нечто неверное. Когда π вычислили до 1000 знака и дальше, я выучил эти знаки заново. Но мне приходится подавлять память о тех неверных 180 знаках, которые я выучил раньше и не способен забыть. “

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЧЁТНЫМ ЧИСЛОМ?

(Попробуйте угадать ответ.)

Чётность. Это понятие в математике обычно применяется только к целым числам. Целые числа (я буду их называть «обычными целыми числами») — это натуральные числа плюс ноль и плюс натуральные числа, к которым приделали знак «минус» (отрицательные). Если вы хотите распространить понятие чётности на какие-то другие объекты, вам надо определить эти объекты и ввести для них понятие чётности, которое можно будет применить к каждому из них.

Гауссовы целые числа. Например, понятие чётности можно расширить на так называемые гауссовы целые числа. Гауссово целое число — это комплексное число вида m+in, где m и n являются обычными целыми числами. Гауссово целое число m+in считается чётным, если числа m и n имеют одинаковую чётность (как обычные целые числа), в противном случае оно считается нечётным. Так, 2 + i нечётно, а 1 + i чётно.

Теперь про бесконечность. Числа «бесконечность» нет ни среди обычных целых чисел, ни среди целых гауссовых чисел. Чтобы решить вопрос о чётности бесконечности, вам, во-первых, надо определить множество, которому она принадлежит, а затем определить понятие чётности для всех элементов этого множества. Вот как это можно сделать.

Сюрреальные целые числа (omnific integers). Сюрреальные числа впервые были определены и построены Джоном Конвеем где-то в 1970 году. Про сюрреальные числа надо писать отдельную статью, в качестве одного факта про них приведу такой: невозможно сказать «множество сюрреальных чисел», потому что они не образуют множество, поэтому говорят «вселенная сюрреальных чисел». Так вот. Среди всех сюрреальных чисел выделяется понятие целого сюрреального числа. И если у нас есть любое сюрреальное целое число n, то либо n/2, либо (n+1)/2 тоже является сюрреальным целым числом (но не одновременно). Это означает, что для сюрреальных целых чисел можно корректно определить понятие чётности: сюрреальное число чётно, если половина его является сюрреальным числом.

Обычные целые числа являются подмножеством сюрреальных целых чисел. Кстати, для сюрреальных целых чисел определено и отношение порядка «быть меньше».

Сюрреальное целое число называется бесконечно большим (или просто бесконечным), если оно больше всех обычных целых чисел. Существует бесконечное множество бесконечно больших сюрреальных целых чисел, некоторые из них чётные, а остальные нечётные. Итак, для бесконечных сюрреальных целых чисел ответ на вопрос из заголовка такой: некоторые из них чётные, а некоторые — нет.

Самое простое (с точки зрения построения) бесконечное сюрреальное целое число обозначается символом ω. Это то же самое ω, что и наименьшее бесконечно большое порядковое число. Это ω чётно, в то время как ω + 1 и ω − 1 нечётны. Все три из них являются бесконечными сюрреальными целыми числами.

У людей нет чёткого интуитивного представления
о том, насколько 1 миллиард больше, чем 1 миллион. 1 миллион секунд — это примерно 11 дней. 1 миллиард секунд равен примерно 31,5 годам.

В подобном впервые буду участвовать (см. ниже):

ПРО СЭРА ТОНИ ХОАРА И ЕГО QUICKSORT

В computer science есть алгоритм сортировки массивов, который называется «быстрая сортировка». Это один из самых быстрых известных универсальных алгоритмов сортировки: он имеет среднюю сложность O(n logn), а это, как известно, лучшее из возможного для алгоритмов сортировки без дополнительных ограничений на массив данных.

Этот алгоритм был разработан Сэром Чарльзом Энтони Ричардом Хоаром в 1959 году, когда он был ещё студентом, а никаким не сэром.

Тони Хоар родился на Цейлоне (ныне Шри Ланка), который был в то время британской колонией. Отец был государственным служащим (представителем колониальной администрации), мать – дочерью чайного плантатора (тоже британка). Образование Хоар получил в Англии, в частности, в Оксфордском университете он получил степень бакалавра по классическим языкам.

После университета Тони Хоар пошёл служить в Королевский военно-морской флот. За время службы в армии он выучил русский язык, а после неё снова вернулся в Оксфорд изучать статистику, и через статистику увлёкся программированием. Из Оксфорда он отправился в СССР, в Московский государственный университет, по программе студенческого обмена. Здесь он обучался компьютерному переводу, а также теории вероятностей в школе великого советского математика Андрея Николаевича Колмогорова. Вот именно в это время он и разработал Quicksort. Это был 1959 год.

А дело было так. В процессе перевода Хоар должен был сортировать слова в русских предложениях, потому что потом ему надо было искать их в русско-английском словаре, который был записан на магнитной ленте в алфавитном порядке. Его первым порывом было использовать самый популярный на тот момент алгоритм сортировки – сортировку вставками, но он быстро понял, что это будет работать очень медленно, поэтому придумал новую идею – которая позже модифицировалась в Quicksort.

В МГУ он проучился всего год, а потом был вынужден уехать из-за разразившегося политического кризиса, который был вызван тем, что в воздушном пространстве СССР (в районе Свердловска, ныне Екатеринбурга) был замечен, а потом сбит самолёт-разведчик США Lockheed U-2. После инцидента первоначально США пытались отрицать существование, задание и цели самолёта, однако после предъявления советским правительством остатков сбитого самолёта и захваченного пилота Гари Пауэрса вынуждены были признать существование программы полётов самолётов-шпионов над СССР. Пауэрс был осуждён за шпионаж и приговорён к десяти годам заключения, однако 10 февраля 1962 года был обменян на советского разведчика Рудольфа Абеля.

Но вернёмся к Хоару. Ему пришлось вернуться в Англию, где он устроился на работу в небольшую компанию по производству компьютеров Elliott Brothers, где занимался реализацией языка ALGOL60.

В качестве одного из рабочих заданий Хоару поручили написать код для ещё одной сортировки – сортировки Шелла. Хоар упомянул своему боссу, что знает более быстрый алгоритм, и тот поспорил на шесть пенсов, что это неправда. Понятно, что в конце концов боссу пришлось признать, что пари он проиграл.

Ну а потом, в 1968 году, Чарльз Энтони Ричард Хоар стал профессором информатики и вычислительной техники в университете Квинс в Белфасте, а позднее вернулся в Оксфорд как профессор вычислительной техники, чтобы возглавить исследовательскую группу Programming Research Group, в задачу которой входило укрепление связей промышленных, академических и государственных структур, работающих в сфере информационных технологий.

В 1980 году Хоар получил премию Тьюринга, а в 2000 году стал сэром – ему был пожалован рыцарский титул за заслуги в области образования и компьютерных наук.

Сэр Тони Хоар жив до сих пор, ему 90 лет. У него 314 научных потомков (это 24 непосредственных ученика, защитившихся под его руководством, и ученики его учеников).

ПРО ОШИБКИ В МАТЕМАТИКЕ

Часто спрашивают, делают ли математики ошибки, и какие ошибки самые знаменитые. Ответ: конечно, делают. Говоря про знаменитые ошибки, можно вспомнить французского математика Анри Пуанкаре. Это тот самый Пуанкаре, чью гипотезу около двадцати лет назад доказал Григорий Перельман. Так вот, Пуанкаре был чемпионом по производству неформальных (и, соответственно, нестрогих) доказательств, которые содержали существенные ошибки. Любопытно то, что большинство из этих ошибок привели к новым и очень глубоким теориям. Известным примером является задача трёх тел (о взаимном расположении небесных объектов), для которой он привёл доказательство разрешимости (неверное, конечно), но фактическая ошибка послужила базой для создания математической теории хаоса, которую Пуанкаре сам позже и развил.

Еще одной известной серией ошибок знаменита итальянская школа алгебраической геометрии, расцвет которой пришёлся на 1885–1935. Специалисты этой школы поначалу придерживались высоких стандартов строгости доказательств, но постепенно стали считать допустимым использовать более неформальные аргументы. Поначалу это не имело негативных последствий благодаря тонкой интуиции конкретных учёных. Но позже стандарты строгости размылись ещё сильнее, и полученные представителями школы результаты оказывались не просто недостаточно обоснованными, но даже безнадёжно неверными. И потом это покатилось, как снежный ком: следующие строили свои неверные доказательства на предыдущих неверных доказательствах, и спустя 30 лет вся школа была полностью дискредитирована, потому что перестало быть понятно, какие из результатов верные и правильные, а какие – нет.

Проблемой последних лет в математике является подтверждение (верификация) получаемых результатов, поскольку часть результатов являются очень узко специальными и не интересными большей части математического сообщества (поэтому они получают иногда очень формальную проверку, а когда-то и вовсе никем не проверяются), а доказательства других (таких как теорема Ферма или Классификация конечных простых групп) настолько объёмны и сложны, что для их подтверждения требуются годы, усилия большого количества математиков и автоматическая проверка доказательств, которая на данный момент разработана только для небольшого (по сравнению с общим) количества существующих доказательств.

Наверняка вы слышали тезис о том, что математически доказанные утверждения невозможно опровергнуть. Ну так вот это неправда. История знает и продолжает производить этому свидетельства.