1. (Интригующее заявление, что в итоге теорию гомотопий можно запрятать в обычные группоиды + категорию чумов)

It is perhaps instructive to mention how our theory describes homotopy
types. These correspond to enhanced groupoids, that is, enhanced categories given by fibrations C→Pos+ whose fibers are groupoids. In a sense, the whole gadget exhibits a sort of an Eckmann-Hilton duality between the ideas of order (exemplified by partially ordered sets J ∈ Pos+) and symmetry (exemplified by the groupoids C_J). In another sense, it restores the original idea of “symmetries between symmetries”, but in different guise. There are no “higher groupoids”, there are just groupoids in the usual sense – but a whole bunch of them (just as a scheme can be thought of as a bunch of sets of its points over various affine schemes)

Обзорный текст от Каледина, покороче: https://arxiv.org/abs/2409.18378 вы туда все равно не полезете, захотелось запостить несколько отрывков из введения 1. (Чем плох "текущий подход" к гомотопическим оснащениям) ...Thus the current thinking goes along more…

https://ncatlab.org/nlab/show/categorical+approaches+to+probability+theory
цели обозначены в аналогичной статье про категорную вероятность:

• To generalize existing results in probability theory to more general settings, for example with less stringent conditions on countability, separability, etc.;
• To find new results, which with the traditional methods would have been too complex to prove;
• To make probability and related fields more accessible to practitioners, thanks to the fact that the formalism incorporates measure theory without requiring any deep knowledge of it.

Третий пункт смешной)

Почему теорию меры сложно переговорить на категорном языке, и как это всё-таки сделать: объясняет Дмитрий Павлов на nlab'е
https://ncatlab.org/nlab/show/categories+of+measure+theory
#чёпочитать

А как бы вы доказали теорему о причесывании ежа? мне приходит в голову такое рассуждение: если v=v(x) — всюду ненулевое касательное поле на единичной сфере в R^d, то надо при каждом вещественном t рассмотреть отображение S^{d-1} -> S^{d-1}, x -> G(v(x)+t*x)…

вот листок к сегодняшней лекции

анимацию см. на сайте Монтгомери:
https://people.ucsc.edu/~rmont/NbdyB.html

Доказательства всегда в некотором смысле "конструктивны": они дают "алгоритм", просто не все шаги можно проделать на практике. (шаги, связанные с аксиомой выбора, например). Интересно расписать такой план действий. Вот как распознать экзотическую сферу? (в соответствии с вычислением количества гладких структур на сферах, по Керверу-Милнору)

Входные данные: гладкое n-мерное многообразие Σ, гомеоморфное стандартной сфере. Диффеоморфно ли оно стандартной сфере?

Шаг 1: вкладываем Σ в R^{N+n} при N > n.

Шаг 2: строим нормальное оснащение на Σ, то есть N линейно независимых векторных полей на Σ, перпендикулярных поверхности
[Нетривиальный факт: такое оснащение существует. Его можно строить через теорию препятствий; препятствие ровно одно, и оно всегда оказывается равно нулю.] Мы получили оснащённое подмногообразие коразмерности N.

Шаг 3: проверяем, существует ли оснащённый кобордизм между подмногообразием Σ (с нашим нормальным оснащением) и стандартной сферой S^n, стандартно вложенной в R^{N+n} (возможно, с нетривиальным нормальным оснащением).
[На другом языке: по Понтрягину-Тому, нашему нормально оснащённому подмногообразию соответствует отображение S^{N+n} -> S^N, то есть элемент в n-ой стабильной гомотопической группе сфер. Этот элемент либо лежит в образе J-гомоморфизма (т.е. кратен некоторому явному элементу, связанному с ортогональной группой), либо не лежит.
Ещё одна точка зрения: перебираем всевозможные оснащения на Σ и проверяем, будет ли хоть одно из них оснащённо кобордантно нулю].

Если такого кобордизма нет — успех, наша сфера экзотическая.
Пусть такой кобордизм есть. Это значит: можно взять оснащённую связную сумму Σ и сферы так, что получится оснащённое многообразие, кобордантное нулю. Итог: получили оснащённое многообразие P, такое что ∂P=Σ.
[Оснащение на Σ теперь не такое, как раньше, но оно нас больше не интересует.]

Шаг 4: несколько вариантов в зависимости от n.
а) n чётно. Тогда сфера стандартная.
б) n=4k+1, но не 13,29,61,125. Тогда сфера стандартная.
в) n=13,29,61 или 125. Тогда надо посчитать инвариант Кервера многообразия P (то есть Арф-инвариант квадратичной формы на H^{2k+1}(P;Z/2), которая возникает из умножения в когомологиях). Если Арф-инвариант нулевой — сфера стандартная, иначе экзотическая.
[в пункте б) тоже надо бы посчитать инвариант Кервера. Но, если верить Хиллу—Хопкинсу—Рэвенелу, он равен нулю.]
г) n=4k-1. Тогда надо посчитать сигнатуру многообразия P (то есть сигнатуру квадратичной формы на H^{4k}(P;Q), которая возникает из умножения в когомологиях). Если сигнатура делится на некоторое явно выписываемое число, кратное числителю n-ого числа Бернулли — сфера стандартная, иначе экзотическая.

...интересно, можно ли как-нибудь переставить шаги (сначала разобраться с сигнатурой/арф-инвариантом, а потом уже решать гомотопическую задачу).

P. S. Кстати, Милнор строил первые экзотические сферы в размерности n=7. Там J-гомоморфизм сюръективен, поэтому Шаг 3 можно "пропустить": кобордизм всегда существует. (На самом деле пропускать нельзя: на Шаге 4 надо считать сигнатуру заклеивающей плёнки, построенной на Шаге 3.) Сферы Милнора — это тотальные пространства расслоений
S^3 -> Σ -> S^4.
С шагом 3 у Милнора не было проблем, многообразия P — это тотальные пространства ассоциированных расслоений
D^4 -> P -> S^4.