https://ncatlab.org/nlab/show/categorical+approaches+to+probability+theory
цели обозначены в аналогичной статье про категорную вероятность:

• To generalize existing results in probability theory to more general settings, for example with less stringent conditions on countability, separability, etc.;
• To find new results, which with the traditional methods would have been too complex to prove;
• To make probability and related fields more accessible to practitioners, thanks to the fact that the formalism incorporates measure theory without requiring any deep knowledge of it.

Третий пункт смешной)

Почему теорию меры сложно переговорить на категорном языке, и как это всё-таки сделать: объясняет Дмитрий Павлов на nlab'е
https://ncatlab.org/nlab/show/categories+of+measure+theory
#чёпочитать

А как бы вы доказали теорему о причесывании ежа? мне приходит в голову такое рассуждение: если v=v(x) — всюду ненулевое касательное поле на единичной сфере в R^d, то надо при каждом вещественном t рассмотреть отображение S^{d-1} -> S^{d-1}, x -> G(v(x)+t*x)…

вот листок к сегодняшней лекции

анимацию см. на сайте Монтгомери:
https://people.ucsc.edu/~rmont/NbdyB.html

Доказательства всегда в некотором смысле "конструктивны": они дают "алгоритм", просто не все шаги можно проделать на практике. (шаги, связанные с аксиомой выбора, например). Интересно расписать такой план действий. Вот как распознать экзотическую сферу? (в соответствии с вычислением количества гладких структур на сферах, по Керверу-Милнору)

Входные данные: гладкое n-мерное многообразие Σ, гомеоморфное стандартной сфере. Диффеоморфно ли оно стандартной сфере?

Шаг 1: вкладываем Σ в R^{N+n} при N > n.

Шаг 2: строим нормальное оснащение на Σ, то есть N линейно независимых векторных полей на Σ, перпендикулярных поверхности
[Нетривиальный факт: такое оснащение существует. Его можно строить через теорию препятствий; препятствие ровно одно, и оно всегда оказывается равно нулю.] Мы получили оснащённое подмногообразие коразмерности N.

Шаг 3: проверяем, существует ли оснащённый кобордизм между подмногообразием Σ (с нашим нормальным оснащением) и стандартной сферой S^n, стандартно вложенной в R^{N+n} (возможно, с нетривиальным нормальным оснащением).
[На другом языке: по Понтрягину-Тому, нашему нормально оснащённому подмногообразию соответствует отображение S^{N+n} -> S^N, то есть элемент в n-ой стабильной гомотопической группе сфер. Этот элемент либо лежит в образе J-гомоморфизма (т.е. кратен некоторому явному элементу, связанному с ортогональной группой), либо не лежит.
Ещё одна точка зрения: перебираем всевозможные оснащения на Σ и проверяем, будет ли хоть одно из них оснащённо кобордантно нулю].

Если такого кобордизма нет — успех, наша сфера экзотическая.
Пусть такой кобордизм есть. Это значит: можно взять оснащённую связную сумму Σ и сферы так, что получится оснащённое многообразие, кобордантное нулю. Итог: получили оснащённое многообразие P, такое что ∂P=Σ.
[Оснащение на Σ теперь не такое, как раньше, но оно нас больше не интересует.]

Шаг 4: несколько вариантов в зависимости от n.
а) n чётно. Тогда сфера стандартная.
б) n=4k+1, но не 13,29,61,125. Тогда сфера стандартная.
в) n=13,29,61 или 125. Тогда надо посчитать инвариант Кервера многообразия P (то есть Арф-инвариант квадратичной формы на H^{2k+1}(P;Z/2), которая возникает из умножения в когомологиях). Если Арф-инвариант нулевой — сфера стандартная, иначе экзотическая.
[в пункте б) тоже надо бы посчитать инвариант Кервера. Но, если верить Хиллу—Хопкинсу—Рэвенелу, он равен нулю.]
г) n=4k-1. Тогда надо посчитать сигнатуру многообразия P (то есть сигнатуру квадратичной формы на H^{4k}(P;Q), которая возникает из умножения в когомологиях). Если сигнатура делится на некоторое явно выписываемое число, кратное числителю n-ого числа Бернулли — сфера стандартная, иначе экзотическая.

...интересно, можно ли как-нибудь переставить шаги (сначала разобраться с сигнатурой/арф-инвариантом, а потом уже решать гомотопическую задачу).

P. S. Кстати, Милнор строил первые экзотические сферы в размерности n=7. Там J-гомоморфизм сюръективен, поэтому Шаг 3 можно "пропустить": кобордизм всегда существует. (На самом деле пропускать нельзя: на Шаге 4 надо считать сигнатуру заклеивающей плёнки, построенной на Шаге 3.) Сферы Милнора — это тотальные пространства расслоений
S^3 -> Σ -> S^4.
С шагом 3 у Милнора не было проблем, многообразия P — это тотальные пространства ассоциированных расслоений
D^4 -> P -> S^4.

Что такое вектор? Вопрос политический, но в школе обычно говорят что это класс эквивалентности направленных отрезков (где: направленные отрезки AB и CD эквивалентны, если ABDC — параллелограмм).

У таких общепринятых штук обычно невозможно указать автора — но пишут, что такое определение вектора придумал Джусто Беллавитис в 1833 году: он назвал эту эквивалентность "эквиполентность" и обозначил её как
AB♎️CD.

ссылка: Bellavitis, Giuso (1833), "Sopra alcune applicazioni di un nuovo metodo di geometria analitica", Il poligrafo giornale di scienze, lettre ed arti, Verona, 13: 53–61.

Больше про историю векторного исчисления — здесь. Говорят, к концу 19 века конкурировали три традиции: Гамильтона (кватернионы, удачно им распиаренные), Грассмана (абстрактная, с шестнадцатью разными операциями — то, что сейчас называют "геометрическая алгебра") и Гиббса-Хэвисайда (собственно "векторный анализ" — попытка упростить Грассмана чтобы проще было заниматься электромагнетизмом). Победила третья. ~~Чем только ни занимались, лишь бы не линейной алгеброй...~~

#истмат

А я давно хотел понять по гомологическим данным, "сколько* нужно образующих и соотношений" для копредставления связной ассоциативной k-алгебры A. Ответ простой, если k — поле: это размерности векторных пространств Tor_1^A(k,k) и Tor_2^A(k,k). Сегодня я проверил…

"Вы сидите в комнате с другом и мячом для пинг-понга (идеально сферическим и идеально белым — мячом для пинг-понга, не другом). Речь заходит про механику Ньютона. Вы бросаете мячик в друга. Вы оба согласны, что если даны скорость и направление броска, закон F= mA и формула гравитационного притяжения на поверхности Земли (F= −mgk, если ось z направлена вверх), то вы можете рассчитать движение мячика. Но затем вы спрашиваете друга: «Вращался ли мяч во время полета?».
— «Это нечестно», — ответит ваш друг. В конце концов, мяч идеально сферический и безукоризненно белый — каким образом ваш друг должен знать, вращался ли он?"
#чёпочитать